3.3.Интегрирование простейших иррациональных функций
Интегралы вида 
где R – рациональная функция перечисленных аргументов c помощью подстановки
где 
наименьшее общее кратное чисел 
приводится к интегралу от рациональной функции аргумента 
Пример 1.Найти интеграл 
Решение. Полагаем 
Тогда
Пример 2.Найти интеграл 
Решение. Так как наименьшее общее кратное 2 и 3 равно 6, то полагаем 
тогда
Возвращаясь к переменной 
по формуле 
получим:
Интегралы вида 
путем выделения полного квадрата в выражении 
приводится к табличным интегралам 12 или 14.
Пример 3.Найти интеграл 
Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:
.
Тогда,
Интегралы виды 
dx вычисляются с помощью подстановки
Тогда интеграл разбивается на сумму двух интегралов от переменной 
, каждый из которых становится фактически табличным.
Пример 4. Найти интеграл 
Решение. Сделаем подстановку 
. Тогда,
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интегралы:
Ответы:
3.4.Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
Интегралы виды 
dx, где 
рациональная функция от 
, приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента с помощью подстановки: 
Для этого выражают через 
по формулам:
Кроме того, 
.
Подстановка 
называется универсальной тригонометрической постоянной.
Пример 1.Найти интеграл 
Решение.Сделаем подстановку ,тогда,
Универсальная подстановка зачастую приводит к слишком громоздким вычислениям, связанным и с появлением знаменателей вида 
Укажем случаи, когда интегрирование может быть упрощено.
1.Если выполняется равенство 
т. е. подынтегральная функция нечётная относительно 
, то применяется подстановка 
.
2. Если выполняется равенство 
, т. е. подынтегральная функция нечетная относительно 
,то применяется подстановка 
3.Если выполняется равенство 
т. е. подынтегральная функция четная относительно 
,то применяется подстановка 
.
Пример 2. Найти интеграл 
Решение. Если в выражение 
подставить 
вместо , то получим 
,т. е. подынтегральная функция нечётна относительно
.Тогда надо применить подстановку 
Подставив , и 
в 
, получим интеграл от рациональной функции аргумента .Но в данном случае можно сделать проще:
Пример 3. Найти интеграл 
Решение.Подынтегральная функция 
является четной относительно и .Но применение подстановки приведет к техническим сложностям в интегрировании алгебраических дробей так называемого IV типа. В этом случае целесообразно заменить 
по формулам понижения степени:
Тогда,
Интегралы вида 
вычисляются с помощью следующих тригонометрических преобразований:
Где 
Пример 4. Найти интеграл 
Решение. Так как 
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интегралы:
Ответы:
= = = = =
