Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»,
2-ой семестр 2016-2017 уч. года.
1. Зависимые и независимые интегралы системы дифференциальных уравнений (СДУ).
2. Приведение СДУ к равносильному уравнению и обратная задача.
3. Теорема Пикара для СДУ.
4. Следствия из теоремы Пикара.
5. Теорема о непрерывной зависимости решения СДУ от параметров.
6. Теорема о непрерывной зависимости решения СДУ от начальных условий.
7. Теорема о существовании общего решения СДУ.
8. Зависимость решений системы в нормальной форме от правых частей системы.
9. Дифференцируемость решений систем в нормальной форме по параметрам и начальным данным.
10. Лемма об элементарной мажоранте.
11. Теорема Коши о существовании голоморфного решения СДУ.
12. Линейная СДУ и её свойства.
13. Фундаментальная матрица линейной СДУ и ее свойства.
14. Линейная неоднородная СДУ. Общее решение и решение в форме Коши.
15. Теорема Коши для линейной неоднородной СДУ.
16. Матрицант.
17. Представление матрицанта в случае Лаппо-Данилевского.
18. Построение матрицы 
.
19. Особые точки. Узел и седло.
20. Особые точки. Центр и фокус.
21. Особые точки. Вырожденный и дикритический (особый) узел.
22. Особые точки. Случай нулевых собственных чисел.
23. Фазовые траектории нелинейных систем.
24. СДУ с периодическими коэффициентами. Теорема Ляпунова – Флоке.
25. Периодические решения уравнения 2-го порядка. Случай единственного периодического решения.
26. Периодические решения уравнения 2-го порядка. Семейства периодических решений.
27. Случай отсутствия периодических решений у уравнения 2-го порядка.
28. Метод малого параметра. Нерезонансный случай. Резонансный случай
29. Метод малого параметра. Резонанс n-го рода. Автономный случай.
30. Метод малого параметра. Решение задачи Коши.
31. Понятие о предельном цикле.
Линейные однородные уравнения первого порядка.33. Квазилинейные уравнения первого порядка.
Вопросы по теории устойчивости движений.
1. Основные определения: исходная система дифференциальных уравнений, определения устойчивого и асимптотически устойчивого по Ляпунову решений, область асимптотической устойчивости. Система в отклонениях.
2. Общие теоремы об устойчивости линейных систем.
3. Устойчивость и асимптотическая устойчивость линейных однородных систем.
4. Корневой критерий устойчивости линейных систем с постоянной матрицей.
5. Корневой критерий асимптотической устойчивости линейных систем с постоянной матрицей.
6. Полиномы Гурвица. Теорема Стодолы.
7. Матрица Гурвица и критерий Рауса-Гурвица.
8. Критерий Михайлова.
9. Интервальный полином. Теорема Харитонова.
10. Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей.
11. Неравенство Важевского и следствия из него.
Литература.
1. Матвеев интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. Еругин для чтения по общему курсу диф. уравнений.
3. , , Чижова уравнения и устойчивость.
4. Петровский по теории обыкновенных диф. уравнений.
Понтрягин диф. уравнения. Степанов диф. уравнений. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление.Лектор
