|
|
Задачи с модулями.
|
=
Геометрический смысл модуля.
|x| - это расстояние от точки x до 0 на действительной прямой.
Например,
1)
2)
Функция может изменить знак своих значений только в двух случаях:
1)в своих нулях: т. е. в корнях уравнения f(x)=0
 |
 |
2)в точках разрыва функции
Задачи с модулями.
1. 
|x-3|+2|x+1|= 4 (1) (2) (3)
-1 3
(1) При x ≤ -1
–x+3-2x-2-4=0
x=-1принадлежит 
=> x= -1 - корень уравнения.
(2) При -1<x≤ 3
–х+3+2ч+2-4=0
х=-1 не принадлежит (-1;3) => не корень на этом промежутке
(3) При x>3
3x-5=0
x=5/3 не принадлежит (3;
– не корень.
Ответ: -1.
2. |x-2|+|x+5|=7
(1) При x≤ -5
-x+2-x-5=7
x=-5 - решение
(2) При -5<x≤ 2
2-x+x+5=7
7=7 - верно, значит все x, принадлежащие (-5;2], – решения
(3) При x>2
x-2+x+5=7
2x=4
x=2 не принадлежит (2; 
) - не корень
Ответ : [-5;2]
3. |2-|1-|x|||=1, 
,
, 
, 
, 
.
Ответ: ±4, ±2,0.
4. |4x-|x-2|+3|=16, 
, 
Рассмотрим случай, когда x≤2
, 
, 
, 3 не принадлежит отрезку (-∞;2], поэтому корень 
.
Рассмотрим случай когда x>2
, 
, 
Ответ: , 
.
5. ||x+5|+x|=x+20
(1) При x≤-5
|-x-5+x|=x+20
5=x+20
x=-15<-5, решение
(2) При x>-5
|x+5+x|=x+20
|2x+5|=x+20, замечаем, что при x>-5всегда x+20>0, поэтому можно использовать геометрический смысл модуля. Здесь уравнение равносильно совокупности уравнений:
, 
Ответ: ±15.
Решение неравенств с модулями
6) |x-2|≤|x+4|
1)x≤-4
-x+2≤-x-4,
2≤-4, это неверно, значит, при x≤ -4 корней нет.
2) -4<x≤2
-x+2≤x+4
2x≥-2
x≥-1, [-1;2] – решения.
3) x>2
x-2≤x+4
-2≤4, верно, значит все x
(2;+∞) – решения.
Ответ: [-1;+∞).
|
7) |5x-4|≥1
|
|t|≥1
- ответ
|
 |
Неравенство |x+4|≥|x-2| выполнено для тех значений х, при которых график функции у=|х+4| выше или пересекает график функции у=|х-2|.
Ответ: х≥ -1.
Графический метод очень эффективен в исследовании задач с параметром.
8. |2-3x|≤5
|
|
|t|≤5
-5≤t≤5
-5≤2-3x≤5
-7≤-3x≤3
7/3≥x≥-1 – ответ
Заметим |a*b|=|a|*|b|
В частности |-b|=|b|.
То есть модуль не изменит свои значения при изменении знака всего подмодульного выражения. Последнее неравенство решается проще, если его записать в виде |3х-2|≤5.
 |  |
| |
9. 
-1 1
|
-3<x-1<3
-2<x<4 -2 4
Ответ: x (-2;-1]
[1;4)
10. ||x-1|+x|≥x+2
1)x≤1
|-x+1+x|≥x+2
X≤-1<1 решение все x≤-1
2) x>1
|x-1+x|≥x+2
|2x-1|≥x+2
Заметим, что при x>1 всегда 2x-1>0. Поэтому
2x – 1≥x+2
x≥3>1 все x≥3 - решения
(-∞;-1]
|
Задачи с параметром.
1) 
При каких значениях а уравнение |x-8|+|x+4|=a имеет ровно два корня?
График левой части – ломаная с возможными изломами в нулях подмодульных выражений.
|
12
| |
 | |
|
|
при a>12 - 2 решения, при а=12 решений бесконечно много: все х[-4;8], при а<12 решений нет.
2) При каких значениях а уравнение 3|x-3|-2|x-5|=a+|x+7|-7|x+2|имеет ровно один корень?
a=3|x-3|-2|x-5|-|x+7|+7|x+2|
График правой части-ломаная с изломами в точках х= -7; -2; 3; 5. Вычислив в этих точках значения и определив направления лучей слева от х= -7 и справа от х=5 , получаем график:
При a<-4 - решений нет.
При a=-4 - ровно одно решение.
Ответ: При a=-4 - ровно одно решение, х= -2.
3) При каких а графики функций
Y=
и y=|x+a| имеют ровно одну общую точку?
х ≠ -2
-3<-а≤-1, то есть 1≤a<3
1 общая точка : a<3, a ≥1
Ответ: [1;3)
4) Найдите все значения а, такие, что для любого х выполняется неравенство |x+1|+2|x+a|>3-2x.
Перепишем неравенство в равносильном виде:
|x+a|> 
.
Теперь без труда построим графики обоих частей.
График левой части знаком нам по предыдущим задачам. График правой – ломаная с единственной точкой излома при х=-1. Вычислим значения правой части в точках излома и, например, прих=-2 и х=0, получим оба луча.
График у=|х+а| находится выше ломаной для всех х при –а>1,5
Ответ: а<-1,5.
