Глава 5. Закон больших чисел.

Математические законы теории вероятностей получены на основе закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Наличие этих закономерностей связано либо с большим числом испытаний, либо с большим числом связанных между собою явлений.

При большом числе случайных явлений их средний результат перестает быть случайным и может прогнозироваться с большой степенью определенности. Именно, устойчивость средних характеристик представляет собой содержание закона больших чисел.

5.1. Лемма и неравенство Чебышева.

Рассмотрим случайную величину X, принимающую только неотрицательные значения и имеющую математическое ожидание . Тогда лемма Чебышева утверждает, что для любого положительного числа А верно неравенство

(5.1.1).

Так как события и противоположны, то

(5.1.2).

Пример 5.1.1. Сумма всех вкладов в отделении банка составляет 20 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 50 тыс. руб., равна . оцените число вкладов этого банка.

Решение. Пусть X – размер случайно взятого вклада, а n – число вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что средний размер вклада (тыс. руб.). Согласно неравенству (5.1.2)

.

Так как по условию , то и . Таким образом, число вкладчиков не более 2000.

Если случайная величина Х имеет математическое ожидание , и дисперсию , то справедливо неравенство Чебышева.

, (5.1.3) утверждающее, что вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания ограничена сверху.

Неравенство Чебышева можно записать в форме

, (5.1.4).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В форме (5.1.3) оно устанавливает верхнюю границу, а в форме (5.1.4) – нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

Пример 5.1.2. Вероятность выхода стандартной детали 0,96. Оценить вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 70 до 90.

Решение. Так как - число бракованных деталей, имеет биномиальное распределение и - вероятность брака, то и .

Так как интервал симметричен относительно , то . Для оценки этой вероятности используем (5.1.14).

Тогда .

Пример 5.1.3. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более . ( - среднеквадратическое отклонение).

Решение. Учитывая, что , то по формуле (5.1.4)

.

Напомним, что для нормального распределенной случайной величины нижняя граница вероятности равна 0,9973. Таким образом, правило применимо для большинства случайных величин.

5.2. Теория Чебышева.

Рассмотрим случайную величину . Пусть над этой величиной производится независимых испытаний, в каждом из которых она может принять значения .

Совокупность ее возможных значений представляет собой набор независимых и одинаково распределенных случайных величин. Рассмотрим среднее арифметическое этих величин:

, где , .

Как следует из теоремы Чебышева, при достаточно большом числе независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к , т. е. для любого

(5.2.1).

Теорема Чебышева следует из неравенства Чебышева, применимого к случайной величине Y:

(5.2.2) или, замещая , , имеем

. (5.2.3)

Теорема Чебышева обобщается на случай независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями:

, ,…, .

Тогда

, (5.2.4), где .

Теорема Чебышева в форме (5.2.3) и (5.2.4) имеет большое практическое значение в теории измерений.

Пример 5.2.1. Сколько надо провести измерений данной величины. чтобы с вероятностью 0,9 гарантировать отклонение средней арифметической измерений от истинного значения не более, чем на 3, если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 6?

Решение. Пусть - результат того измерения и для любого .

Необходимо найти , при котором

.

По условию и . Тогда, используя (5.2.4), получим

.

Откуда . Следовательно, потребуется не менее 28 измерений.