Автономные задачи динамической устойчивости панелей

Министерство образования и науки Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Специальность: 010800.62 — механика и математическое моделирование

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

(Бакалаврская работа)

Автономные задачи динамической устойчивости панелей

Работа завершена:

"___"________2015 г. _________________________________()

Работа допущена к защите:

Научный руководитель

кандидат физ.-мат. наук (доцент)

"___"___________2015 г. ______________________________()

Заведующий кафедрой

доктор физ.-мат. наук (профессор)

"___"___________2015 г. ______________________________()

Казань — 2015

Содержание

Введение.........................................................................................................3

Теория устойчивости удлиненной панели.................................................4

Решение задачи устойчивости удлиненной панели…………………………………..6

1) Устойчивость при импульсном нагружении......................................6

а) Шарнирное закрепление.................................................................6

б) Жесткое закрепление.....................................................................11

2) Устойчивость панели при ступенчатой нагрузке..............................12

а) Шарнирное закрепление................................................................12

б) Жесткое закрепление.....................................................................14

Выводы............................................................................................................ 16

Список используемой литературы.................................................................17

Приложение.....................................................................................................18

Введение

Панели, как элементы конструкции, применяются во многих отраслях промышленности, в частности, в строительстве, машиностроении, авиации, ракетостроении. Это объясняется такими качествами, как: относительная простота изготовления, легкость и достаточная устойчивость.

При потере устойчивости конструкции или ее элементов происходит разрушение. Важно произвести расчет на потерю устойчивости при соответствующих нагрузках.

Эксплуатация конструкций из панелей чаще всего подразумевает относительно длительный период эксплуатации, на протяжении которого конструкция подвергается различным воздействиям, как по продолжительности, так и по величине нагрузки. Однако конструкции так же испытывают короткие по времени и достаточно сильные нагрузки.

В данной работе рассматривается устойчивость панелей при импульсном нагрузке и статическом нагружении в динамической постановке при различных условиях закрепления.

Глава 1. Теория устойчивости панели

Рассмотрим панель, на которую действует некая импульсная нагрузка q в течение короткого отрезка времени.

(1.1)

δ(t) – дельта функция, J – импульс силы q, ψ(x,y) – функция распределения нагрузки вдоль панели.

Из принципа Остроградского-Гамильтона определяем начальные условия:

(1.2)

L – функция Лагранжа, K – кинетическая энергия, П – потенциальная энергия, W – потенциальная энергия деформации, A – работа внешних сил.

Из (1.2) следует:

, (1.3)

где ρ – плотность, h – толщина панели.

Получаем уравнение Лагранжа второго рода:

(1.4)

при t=0,tk (1.5)

Варьируя , получим:

(1.6)

Учитывая фильтрующие свойства δ(t):

получаем: при t=0 (1.7)

Из уравнений (1.5) и (1.7) получаем:

при t=0 (1.8)

Представим, что .

Тогда между начальной скоростью и импульсом нагрузки следует связь:

(1.9)

Зная начальную критическую скорость, с помощью (1.9) можно найти критический импульс.

В итоге, с помощью принципа Остроградского-Гамильтона можно получить уравнение движения в форме уравнения Лагранжа второго рода и начальные условия импульсного нагружения.

Глава 2. Удлиненная панель при импульсном нагружении

 

Рис. 1. Общая схема пологой панели

На рис.1 представлена общая схема пологой панели. Размер ее вдоль оси Х больше, чем размер вдоль дуги b. Импульсная нагрузка направлена по нормали. Пренебрежем напряжениями в координатах y. Будем рассматривать полосу панели шириной 1.

Запишем уравнение движения (2.1):

(2.1)

D – изгибная жесткость;

w – прогиб панели;

h – толщина панели;

σ –напряжение;

ρ – коэффициент Пуассона.

Шарнирное опирание

При условии шарнирного опирания: (2.2)

y=0, y=b

В этом случае, уравнение прогиба имеет вид:

(2.3)

Величину σ найдем из условия закрепления.

Взаимное сближения Δ граней равно нулю:

(2.4)

Деформация срединной поверхности:

(2.5)

Из закона Гука найдем соотношения между деформациями и напряжениями:

(2.6)

σx,σy – нормальные напряжения.

Подставив (2.6) в (2.5), получим:

(2.7)

Далее интегрируем :

(2.8)

Добавляем выражение прогиба (2.4) и получаем

(2.9)

Далее применяем метод Бубнова-Галеркина для (2.1):

Получим:

, (2.10)

где - безразмерная толщина

(2.11)

- квадрат частоты при малых колебаниях.

- параметр кривизны,

- скорость звука,

γ – удельный вес материала.

, - геометрические параметры. (2.12)

Далее умножим (2.10) на и проинтегрируем от 0 до tk:

(2.13)

Соотношение (2.13) соответствует уравнению изменения кинетической энергии:

(2.14)

– потенциальная энергия (2.15)

- условие стационарного положения.

– скорость точки панели в начальный и конечный моменты времени, – критический прогиб (при t=tk).

Начальную критическую скорость определим с помощью критерия .

(2.16)

Следовательно, потенциальный барьер преодолевается с нулевой скоростью:

(2.17)

При малом увеличении начальной скорости сверх критической происходит скачкообразный переход. Происходит прощелкивание.

Найдем , используя условие минимума начальной скорости по критическому прогибу:

(2.18)

Определив , подставим ее в (2.17). Определим безразмерную начальную критическую скорость:

(2.19)

- скорость света.

Далее в табл.1 представлены значения критических прогибов и критических начальных скоростей для разных значений кривизны.

Табл. 1. Значения критических прогибов и критических начальных скоростей

k	9	12	15	18	21	24	27	30
	1.68	1.81	2.13	2.47	2.84	3.21	3.58	3.96
	47.59	97.83	179.44	299.73	466.32	686.91	969.17	1320.83

При кривизне k=9 начинается возникать такой эффект как прохлопвание. Оболочка резко прогибается под нагрузкой, это сопровождается громким звуком, «хлопком». Чаще всего это чревато разрушением и потерей несущих свойств оболочки.

Построим графики зависимости прогибов от времени и фазовые портреты для разных начальных скоростей.

1)  V0 <Vкр

Рис. 2. Фазовый портрет колебаний Рис. 3. Зависимость прогибов от времени

Как видно из графика (рис. 3), при скорости меньше критической, колебания периодические, график в виде синусоиды. В фазовой плоскости (рис. 2) получим систему эллипсов, расположенных вокруг центров.

2)  V0 =Vкр

Рис. 4. Фазовый портрет колебаний Рис. 5. Зависимость прогибов от времени

При скорости, равной критической, в фазовой плоскости графики в виде петли с «седлом» в точке с неустойчивым положением. Панель прогибается, переходит к новому положению равновесия, а затем возвращается к исходному.

3)  V0 >Vкр

Рис. 4. Фазовый портрет колебаний Рис. 5. Зависимость прогибов от времени

При скорости больше критической, происходит прохлопывание. Происходит скачкообразный переход при увеличении скорости сверх критической. Колебания происходят вокруг старого и нового положений равновесий. При значительных прогибах происходит разрушение конструкции.

Панель с жестким закреплением

Рассмотрим случай, когда края панели закреплены жестко. При таких начальных условиях, выражение для прогиба принимает следующий вид:

(2.20)

Выражения для σ находим аналогично пунктам (2.4) - (2.9):

(2.21)

Уравнение движение будет иметь вид:

(2.22)

Величина квадрата частоты будет равняться:

(2.23)

Параметры α и β, зависящие от геометрии панели примут вид:

(2.24)

Аналогично случаю с шарнирным закреплением, получаем значения безразмерного прогиба и безразмерной начальной скорости. Эти значения представлены в табл. 2.

Табл. 2. Значения критических прогибов и критических начальных скоростей

k	23	25	30	35	40	45	50
	3.27	3.33	3.57	3.97	4.41	4.87	5.34
	753.77	618.06	1200.29	1816.41	2628.45	3663.76	4949.94

Как видно из таблицы, прохлопывание начинается с кривизны равной 23. Начальные скорости сравнительно больше, чем в случае с шарнирным опиранием, при примерно равных прогибах.

Графики зависимости прогибов от времени, как и фазовые портреты, аналогичны случаю с шарнирным опиранием.

Глава 3. Статическое нагружение в динамической постановке

Рис. 6. Поперечная нагрузка

Шарнирное опирание

Рассмотрим устойчивость панели при поперечной нагрузке. В уравнении движения учтем q и проинтегрируем по y:

(3.1)

- безразмерная толщина;

- квадрат частоты.

Далее, умножим (3.1) на и проинтегрируем от 0 до tk.

(3.2)

Примем .

Принимая во внимания начальные условия и учитывая критерий , получаем обнуленную левую часть этого равенства. Связь между критической нагрузкой и прогибом:

(3.3)

Минимизируем q по ξ и получаем уравнение, решив которое, находим значения критического прогиба ξ. Подставив их в уравнение (3.3), получим значения верхней и нижней критических нагрузок (табл. 3).

Табл. 3. Значения критических прогибов и критических нагрузок при статическом и импульсном нагружениях

k	15	25	35	40
о1	1.38	0.87	2.20	1.39	3.05	1.93	3.51	2.17
о2	3.78	3.00	6.4	5.06	8.99	7.10	10.29	8.15
100qн	8.2	-22.8	5.1	-53.1	3.64	-80.5	3.3	-93.8
100qв	30.3	39.2	48.7	63.3	67.7	87.6	77.12	102.2

Для каждой кривизны представлены результаты с учетом ступенчатой нагрузки и результаты решения задачи импульсного нагружения.

Судя по полученным данным, можно сделать вывод, что при ступенчатом нагружении прогиб увеличивается почти в два раза. В то же время верхняя критическая нагрузка уменьшается, а нижняя увеличивается. Это связано с инерционностью оболочки.

При увеличении кривизны прогиб увеличивается, верхняя критическая нагрузка растет, а нижняя - уменьшается.

Рассмотрим фазовый портрет и график зависимости для уравнения (3.1).

Рис. 6. Фазовый портрет колебаний Рис. 7. Зависимость прогибов от времени

При изменении нагрузки, меняется положение равновесия, вокруг которого происходят колебания. При увеличении увеличивается частота колебаний и смещается вверх положение равновесия. В фазовой плоскости получаем систему вложенных эллипсов, смещенных относительно центра.

Жесткое закрепление

Выражение для прогиба имеет вид:

Уравнение движение будет иметь вид:

Величина квадрата частоты будет равняться:

Параметры β и η, зависящие от геометрии панели примут вид:

Умножаем на и интегрируем от до :

Зависимость между критической нагрузкой и прогибом:

Минимизируем по , получаем уравнение, находим численное значение критического прогиба . Подставляем в уравнение для , находим нижнюю и верхнюю критическую нагрузку. Запишем получившиеся значения в табл. 4.

Табл. 4. Значения критических прогибов и критических нагрузок при статическом и импульсном нагружениях

k	15	25	35	40
о1	17.19	2.13	32.8	3.33	47.9	4.6	55.38	5.23
о2	18.75	3.68	35.8	6.34	52.3	8.95	60.41	10.25
10qн	1112	22.6	2781	37.2	4421	52.1	5217	59.6
10qв	1342	56	3374	108.6	5359	159.3	6322	184.2

При жесткой заделке увеличивается критический прогиб и верхняя и нижняя критическая нагрузка. То есть, в случае жесткого закрепления прохлопывание произойдет при более сильных нагрузках, чем в случае шарнирного закрепления.

Заключение

1.  Рассмотрена нелинейная задача устойчивости элемента оболочки (удлиненной панели) при импульсной нагрузке и статической нагрузке в динамической постановке.

2.  Получена зависимость импульса нагрузки (начальной критической скорости) от кривизны панели. Построены графики зависимости прогибов от времени при различных значениях начальной скорости.

3.  Получена зависимость критической нагрузки от кривизны панели в случае ступенчатого нагружения.

4.  Для решения задачи использован метод Бубнова-Галеркина и критерий Саченкова.

5.  Получена зависимость критичеких безразмерных начальных скоростей и прогиба от геометрии панели.

6.  Получены фазовые портреты для различных траекторий нагружения.

Список используемой литературы

1)  «Нелинейная динамика пластин и оболочек», Главная редакция физико-математической литературы изд. «Наука», 1972 г., 432 с.

2)  , «Устойчивость упругих пластин и оболочек при нестационарном нагружении», Казань, Изд. КГУ, 1994 г., 124 с.

3)  «Нелинейная теория пластин и оболочек», издательство Казанского Университета, Казань, 1962 г., с. 27.

4)  «Нелинейные колебания и устойчивость пологих оболочек и стержней», Изд. АН СССР, Отдел техн. наук, №3 (1955), с. 33-68.

Приложение

Нахождение критической скорости при заданной кривизне k в пакете электронных таблиц EXCEL.

k	E	V		a	b	d	x1	x2
1	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!		1,055643	2,727631	-1,31669	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!
2	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!		1,659335	2,143742	-1,26676	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!
3	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!		1,834501	1,580029	-1,18355	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!
4	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!		1,787829	1,154873	-1,06705	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!
5	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!		1,660364	0,858028	-0,91727	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!
6	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!		1,516134	0,652912	-0,7342	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!
7	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!		1,379178	0,509086	-0,51785	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!
8	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!		1,256765	0,405913	-0,26821	#ЧИСЛО!	#ЧИСЛО!
9	1,680928	47,59496		1,149775	0,330095	0,014716	1,802237	1,680928
10	1,647462	61,23519		1,056893	0,273086	0,330925	2,222722	1,647462
11	1,716164	77,92554		0,976235	0,229314	0,680419	2,541039	1,716164
12	1,806553	97,83058		0,905942	0,195069	1,063199	2,837668	1,806553
13	1,907495	121,2033		0,844376	0,167827	1,479263	3,123745	1,907495
14	2,014756	148,3142		0,790153	0,145832	1,928613	3,403501	2,014756
15	2,126228	179,4408		0,742126	0,127836	2,411248	3,679048	2,126228
16	2,240699	214,8633		0,699352	0,112939	2,927168	3,951596	2,240699
17	2,357405	254,8641		0,661055	0,100475	3,476373	4,221908	2,357405
18	2,475835	299,7262		0,626597	0,089946	4,058864	4,490497	2,475835
19	2,595629	349,7335		0,595448	0,080976	4,674639	4,757721	2,595629
20	2,716527	405,1702		0,567168	0,073274	5,3237	5,023841	2,716527
21	2,838332	466,3209		0,541389	0,066613	6,006046	5,289055	2,838332
22	2,960893	533,4702		0,517802	0,060815	6,721677	5,553512	2,960893
23	3,084092	606,9032		0,496145	0,055738	7,470593	5,817331	3,084092
24	3,207837	686,9049		0,476194	0,051267	8,252795	6,080605	3,207837
25	3,332051	773,7602		0,457759	0,047311	9,068281	6,34341	3,332051
26	3,456672	867,7544		0,440678	0,043794	9,917053	6,605807	3,456672
27	3,581649	969,1727		0,424807	0,040653	10,79911	6,867849	3,581649
28	3,706939	1078,3		0,410025	0,037837	11,71445	7,129577	3,706939
29	3,832506	1195,423		0,396225	0,035303	12,66308	7,391028	3,832506
30	3,95832	1320,825		0,383313	0,033014	13,64499	7,652233	3,95832
31	4,084354	1454,793		0,371208	0,03094	14,66019	7,913217	4,084354
32	4,210586	1597,611		0,359836	0,029055	15,70867	8,174003	4,210586
33	4,336997	1749,565		0,349133	0,027337	16,79044	8,434611	4,336997
34	4,463569	1910,941		0,339044	0,025766	17,90549	8,695057	4,463569
35	4,590287	2082,023		0,329516	0,024326	19,05383	8,955357	4,590287
36	4,71714	2263,098		0,320505	0,023004	20,23545	9,215523	4,71714
37	4,844114	2454,45		0,311971	0,021786	21,45036	9,475568	4,844114
38	4,9712	2656,365		0,303876	0,020662	22,69856	9,7355	4,9712
39	5,098388	2869,129		0,296187	0,019623	23,98004	9,99533	5,098388
40	5,225671	3093,027		0,288876	0,01866	25,2948	10,25507	5,225671