МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «СГУ имени »
Механико-математический факультет
СОГЛАСОВАНО заведующий кафедрой д. ф.-м. н., профессор "__" ________________2016 г. | УТВЕРЖДАЮ председатель НМС факультета к. ф.-м. н. , доцент "__" ________________2016 г. |
Фонд оценочных средств
Текущего контроля и промежуточной аттестации по дисциплине
Численные методы
Направление подготовки бакалавриата
02.03.01 - МАТЕМАТИКА И КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ
Профиль подготовки бакалавриата
Математические основы компьютерных наук
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2016 год
1. Карта компетенций
Контролируемые компетенции (шифр компетенции) | Планируемые результаты обучения (знает, умеет, владеет, имеет навык) |
Способность работать в коллективе, толерантно воспринимая социальные, этнические, конфессиональные и культурные различия (ОК-6) | Знать: о социальных, этнических, конфессиональных и культурных особенностях представителей тех или иных социальных общностей |
Уметь: работая в коллективе, учитывать социальные, этнические, конфессиональные, культурные особенности представителей различных социальных общностей в процессе профессионального взаимодействия в коллективе, толерантно воспринимать эти различия | |
Владеть: в процессе работы в коллективе этическими нормами, касающимися социальных, этнических, конфессиональных и культурных различий; способами и приемами предотвращения возможных конфликтных ситуаций в процессе профессиональной деятельности | |
Способность к самоорганизации и самообразованию (ОК-7) | Знать: содержание процессов самоорганизации и самообразования, их особенностей и технологий реализации, исходя из целей совершенствования профессиональной деятельности |
Уметь: самостоятельно строить процесс овладения информацией, отобранной и структурированной для выполнения профессиональной деятельности | |
Владеть: технологиями организации процесса самообразования; приемами целеполагания во временной перспективе, способами планирования, организации, самоконтроля и самооценки деятельности | |
Способность использовать методы математического и алгоритмического моделирования при решении теоретических и прикладных задач (ПК-5) | Знать: Методологию построения математических алгоритмов, методы компьютерной геометрии и геометрического моделирования, основные языки программирования и методы трансляции |
Уметь: Строить математические алгоритмы и реализовывать их с помощью языков программирования, проектировать базы данных, применять методы математического моделирования к решению конкретных задач | |
Владеть: : навыками построения и реализации основных математических алгоритмов, основными языками программирования | |
Способность передавать результат проведенных физико-математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области изучавшегося явления (ПК-6) | Знать: Методологию построения математических алгоритмов, методы компьютерной геометрии и геометрического моделирования, основные языки программирования и методы трансляции |
Уметь: Строить математические алгоритмы, используемые при решении задач в конкретных областях знаний. Формулировать полученные результаты в терминах предметной области изучаемого объекта. Реализовывать алгоритмы с помощью языков программирования, проектировать базы данных связанных с обработкой данных в конкретной области знаний | |
Владеть: Навыками построения алгоритмов, реализующих задачи в конкретной предметной области, навыками передачи основных результатов математического исследования в виде рекомендаций в терминах предметной области изучавшегося явления, основными языками программирования | |
Способность решать стандартные задачи профессиональной деятельности на основе информационной и библиографической культуры с применением информационно-коммуникационных технологий и с учетом основных требований информационной безопасности (ОПК-2) | Знать: современные методологии разработки программного обеспечения |
Уметь: использовать фундаментальные математические знания, участвовать в работе по описанию, прогнозированию процессов и проблемных ситуаций | |
Владеть: навыками научных исследований процессов и отношений, методами анализа и интерпретации полученных результатов | |
Способность находить, анализировать, реализовывать программно и использовать на практике математические алгоритмы, в том числе с применением современных вычислительных систем (ОПК-4) | Знать: Методологию построения математических алгоритмов, методы компьютерной геометрии и геометрического моделирования, основные языки программирования и методы трансляции |
Уметь: Строить математические алгоритмы, используемые при решении задач в конкретных областях знаний. Формулировать полученные результаты в терминах предметной области изучаемого объекта. Реализовывать алгоритмы с помощью языков программирования, проектировать базы данных связанных с обработкой данных в конкретной области знаний | |
Владеть: Навыками построения алгоритмов, реализующих задачи в конкретной предметной области, навыками передачи основных результатов математического исследования в виде рекомендаций в терминах предметной области изучавшегося явления, основными языками программирования |
2. Показатели оценивания планируемых результатов обучения
Семестр | Шкала оценивания | |||
2 | 3 | 4 | 5 | |
5 семестр | Студент не знаком с основными понятиями и методами, рассмотренными в курсе. | Студент знаком с основными понятиями математического моделирования, а также с постановками задач, изучавшимися в курсе. Имеет представление о прямых и итерационных методах решения систем линейных и нелинейных уравнений, методах спуска, использовании квадратурных формул для приближенного решения интегральных уравнений. | Студент знаком с математическими моделями фундаментальных процессов и явлений. Знает и может реализовать в виде компьютерной программы наиболее употребительные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений, поиска экстремума, нахождения собственных значений матриц, решения интегральных уравнений. | Студент хорошо знаком с математическими моделями фундаментальных процессов и явлений. Знает и может реализовать в виде компьютерной программы наиболее употребительные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений, поиска экстремума, нахождения собственных значений матриц, решения интегральных уравнений. Умеет анализировать алгоритмы решения задач с точки зрения их точности и трудоемкости. Владеет необходимой теоретической базой знаний из анализа, алгебры и др. Умеет доказывать основные теоремы о погрешности того или ионного метода. |
6 семестр | Студент не знаком с основными понятиями и методами, рассмотренными в курсе | Студент знает постановки задач Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных. Имеет представление о наиболее употребительных методах решения этих задач. Владеет понятийным аппаратом теории разностных схем. | Студент хорошо знает постановки задач Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных. Знает и умеет реализовать в виде компьютерной программы наиболее употребительные методы решения этих задач. Уверенно владеет понятийным аппаратом теории разностных схем. Способен формулировать и доказывать простейшие факты об аппроксимации и устойчивости изучаемых разностных схем. | Студент хорошо знает постановки задач Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных. Знает и умеет реализовать в виде компьютерной программы наиболее употребительные методы решения этих задач. Умеет анализировать получающиеся алгоритмы с точки зрения их точности и эффективности. Уверенно владеет понятийным аппаратом теории разностных схем. Способен формулировать и доказывать все основные теоремы об аппроксимации и устойчивости изучаемых разностных схем. Владеет приемами построения и анализа разностных схем. |
3. Оценочные средства
2.1 Задания для текущего контроля
Контрольная работа
Контрольная работа является одной из форм контроля усвоения студентами учебного материала, а также выработки первичных навыков и умений применения полученных знаний.
Контрольная работа представляет собой письменную работу по заранее заданному варианту. При написании контрольной работы разрешается использовать конспекты лекций, основную и дополнительную литературу по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценки.
Оценка «5»
- наблюдается глубокое и прочное усвоение программного материала; - студент свободно справляется с поставленными задачами; - студент принимает правильно обоснованные решения.
Оценка «4»
- демонстрируется хорошее знание программного материала; - грамотное изложение, без существенных неточностей в ответе на вопрос; - правильное применение теоретических знаний.
Оценка «3»
- наблюдается усвоение основного материала; - в решении присутствуют неточности; - нарушение последовательности в изложении программного материала.
Оценка «2»
- незнание программного материала; - при решении возникают ошибки.
Примерные варианты контрольных работ.
Контрольная работа 1.
1-й вариант. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного глобального элемента
2-й вариант. Найти обратную матрицу с помощью метода Гаусса.
Контрольная работа 2.
1-й вариант. Решить задачу Коши для системы из двух уравнений первого порядка с помощью метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
2-й вариант. Решить задачу Коши для системы из двух уравнений первого порядка с помощью метода Адамса.
3.2 Промежуточная аттестация
Методические указания.
Промежуточная аттестация по дисциплине «Численные методы» проводится в виде зачета и устного экзамена. Учебным планом по направлению подготовки «Математика и компьютерные науки» предусмотрено две промежуточные аттестации по соответствующим разделам данной дисциплины. Подготовка студента к прохождению промежуточной аттестации осуществляется в период лекционных и семинарских занятий, а также во внеаудиторные часы в рамках самостоятельной работы. Во время самостоятельной подготовки студент пользуется конспектами лекций, основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценивания.
Во время зачета и экзамена студент должен дать развернутый ответ на вопросы, изложенные в билете. Преподаватель вправе задавать дополнительные вопросы по всему изучаемому курсу.
Полнота ответа определяется показателями оценивания планируемых результатов обучения (раздел 2).
Вопросы к дифференцированному зачету:
1.Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. 2. Метод Гаусса.
3. Метод квадратного корня.
4. Метод прогонки для трехдиагональных матриц.
5. Итерационные методы, метод простой итерации и Зейделя.
6.Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации.
7. Метод Ньютона.
8. Сходимость методов простой итерации и Ньютона, скорость сходимость. 9. Одномерный случай.
10. Методы секущих, касательных, дихотомии.
11. Нахождение корней алгебраических многочленов.
12. Численные методы поиска экстремума в конечномерном пространстве. 13. Методы спуска, направление спуска, выбор шага.
14. Методы нулевого порядка, не требующие вычисления производных.
15. Градиентный метод и его модификации.
16. Метод сопряжения градиентов.
17. Одномерный поиск экстремума. Метод золотого сечения.
18. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы. 19. Прямые и итерационные методы.
20. Метод Данилевского, приведение матрицы к форме Фробениуса.
21. Методы Крылова, Лаверье, интерполяционный метод.
22. Степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора.
23. Метод вращений.
24. QR-алгоритм.
25. Численные методы решения интегральных уравнений.
26. Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода.
27. Характеристические числа, собственные функции.
28. Уравнения Фредгольма с "малым" ядром.
29. Метод последовательных приближений. Резольвента.
30. Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром.
31. Альтернатива Фредгольма.
32. Сведение интеграционного уравнения Фредгольма 2-го рода к системе линейных алгебраических уравнений, оценка погрешности.
Вопросы к экзамену:
1. Численные методы решения задачи Коши.
2. Метод Эйлера, оценка погрешности.
3. Усовершенствованный метод Эйлера.
4. Метод предиктор-корректор.
5. Метод Рунге-Кутта, оценка погрешности метода
6. Рунге-Кутта, наиболее употребительные алгоритмы.
7. Многошаговые методы.
8. Метод Адамса, оценка погрешности метода Адамса.
9. Неявные методы.
10. Правило Рунге оценка погрешности.
11. Аналитические методы.
12. Метод Пикара.
13. Метод Чаплыгина.
14. Интегрирование с помощью степенных рядов.
15. Метод малого параметра.
16. Численные методы решения краевых задач для ОДУ.
17. Краевая задача Штурма-Лиувилля.
18. Собственные значения, собственные функции и их свойства.
19. Функция Грина краевой задачи.
20. Метод пристрелки.
21. Метод неопределенных коэффициентов.
22. Метод коллокации.
23. Метод моментов.
24. Разностные методы решения краевых задач.
25. Аппроксимация краевой задачи.
26. Построение разностной схемы.
27.Исследование разностной схемы: существование решения, единственность, устойчивость, оценка погрешности.
28. Построение функции Грина сеточной задачи.
29. Нахождение собственных значений.
30. Разностные аппроксимации повышенной точности.
31. Методы решения нелинейных краевых задач.
32. Основные задачи математической физики, операторная запись задачи.
33. Решение разностных уравнений 1-го и 2-го порядков.
34. Основные понятия теории разностных схем.
35. Аппроксимация, сходимость, устойчивость.
36. Понятие шаблона.
37. Построение разностных схем методом неопределенных коэффициентов. 38. Простейшие разностные схемы.
39. Уравнения параболического и гиперболического типа.
40. Построение разностных схем.
41. Явные и неявные схемы.
42. Методы исследования их устойчивости.
43. Многомерные нестационарные задачи.
44. Разностные схемы расщепления.
45. Уравнения эллиптического типа. Задача Дирихле.
46. Построение разностных схем.
47. Аппроксимация дифференциального уравнения и краевого условия.
48. Принцип максимума.
49. Устойчивость разностной схемы, оценка погрешности и сходимость.
50. Методы решения разностной задачи. Метод матричной прогонки.
ФОС для проведения промежуточной аттестации одобрен на заседании кафедры математической физики и вычислительной математики (протокол № 1, от 29 августа 2016 г.).
Автор: к. ф-м. н. доцент
