Комбинаторные задачи
1. Задачи составленные нами:
Словом будем называть любую конечную последовательность букв русского алфавита. Скажем, используя буквы А, Б, В ровно по-одному разу, можно составить 6 слов: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. В следующих задачах необходимо выяснить, сколько различных слов можно получить, переставляя буквы того или иного слова.
Задача 1. "КОПЫРИН".
Решение. Так как все буквы слова различны, то всего можно получить 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 слов.
Задача 2. «ДАША»
Решение. В этом слове две буквы А, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы А, обозначив их через А1 и А2. При этом предположении получится 4! = 24 разных слов. Однако те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв А1 и А2, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 24 слова разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего 24 : 2 = 12.
Задача 3. «ВАСИЛЬЕВА»
Решение: В этом слове две буквы В и две буквы А. Считая все буквы различными, получаем 9! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв В, но не А, получаем 9!/2! различных слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв А, получаем окончательный результат 11!/(2!*2!)=371880/4=92970
Задача 4. В магазине «Сайдам» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?
Решение: Выберем чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из четрёх блюдец. Поэтому есть 4 разных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 6, то число различных комплектов равно 24 (24=6*4).
Задача 5. В магазине «Сайдам» есть ещё 5 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?
Решение: Выберем любой из 24 комплектов предыдущей задачи. Его можно дополнить ложкой четырьмя различными способами. Поэтому общее число возможных комплектов равно 60 (120=24*5=6*4*5).
Задача 6. В магазине «Сайдам» по-прежнему продается 6 разных чашек и 4 разных блюдца и 5 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?
Решение: Возможны тир случая: первый – покупаются чашка с блюдцем, второй – чашка с ложкой, третий – блюдце и ложка. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможны вариантов (в первом – 24, во втором – 30, в третьем –20)
Использованная литература
1. Баишева С. В. «Материалы для подготовки к математическим олимпиадам»
2. , "КОМБИНАТОРИКА" издательство Елабужский государственный педагогический институт 1999г
3. "Математика? - Забавно!" издание автора 1989г
4. Генкин Д. В. «Ленинградские математические кружки»
Интернет
5. , «КОМБИНАТОРИКА» издательство Елабужский государственный педагогический институт 1999г
6. «Математика? – Забавно!» издание автора 1989г
7. «Популярная комбинаторика»
8. Интернет: http:\www. mathclub. zala. ru/0921.html
Складывая, получаем общее число возможных вариантов: 74.
Задача 7. В Сырдахе живут трое друзей Алеша (А), Борис (Б), и Вася (В). Из дома Алеши в дом Бори ведёт 6 дорог, а из дома Бори в дом Васи – 4 дороги (рис1). Сколькими способами можно проехать от дома Алеши до дома Васи?
Рис.1 Рис.2
Ответ. 24=6*4.
Задача 8. У троих друзей появился еще один друг Гриша и несколько новых дорог (рис2). Сколькими способами можно теперь добраться из дома Алеши в дом Гриши?
Решение: Выделим два случая: путь проходит через дом Бориса или через дом Гриши. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных маршрутов: в первом - 24, во втором - 4=2*2. Складывая, получаем общее количество маршрутов: 26.
Задача 9. Учащиеся 7-го класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий потребуется, если в классе 15 учащихся?
Решение. 15 человек по 14 фотографий: 15*14=210 фотографий.
Задача 10. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?
Решение. Будем рассуждать точно так же, как при решении задач предыдущего цикла. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе — любую из двух оставшихся, а на третье — последнюю оставшуюся цифру. Таким образом, всего получается 3 • 2 • 1 = 3! чисел.
Задача 11. Сколькими способами можно выложить в ряд желтый, белый, синий, зеленый и красный шарики?
Решение. На первое место можно положить любой из пяти шариков, на второе — любой из четырех оставшихся, на третье — любой из трех оставшихся, на четвертое – любой из двух, а на пятый - последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5!.
Задача 12. В Усть-Алданском улусе 35 сел, каждое из двух которых соединено дорогами. Сколько дорог в нашем улусе?
Решение. Каждая дорога соединяет два села. В качестве первого села можно взять любой из 35 сел, а в качестве второго - любой из 34 оставшихся. Перемножив эти числа, получаем 35*34 = 1190. Однако при этом подсчете каждая дорога учтена дважды. Таким образом, число дорог равно 1190 : 2 = 595
Задача 13. Сколько всего может быть пятизначных телефонных номеров в селе Борогонцы, если они начинаются с 41, 42?
нечетные цифры, то их количество, очевидно, равно 56 = 15625. Всего 6-значных чисел 900000. Поэтому количество 6-значных чисел, обладающих указанным свойством, равно 900000 - 15625 = 884375.
10. 5*4=20
11. Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z - любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.
12. Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому:
Возможно 360 вариантов.
13. 1*6*6=36
14. Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, 10*9*8=720
15. Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.
3. Ответы и решения:
1. 2*2*2=8
2. 2*2*2*2=16
3. Решение. Капитаном может стать любой из 11 футболистов. После выбора капитана на роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 11 • 10 = 110 разных вариантов выборов.
4. 120 : 2 = 60
5. 8!/3!.
6. 11!/(2!*3!)
7. 10!/(3!*2!*2!)
8. Решение. Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго - любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20-19 = 380. Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго - город В, а второй раз — наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380 : 2 = 190.
9. Решение. Вместо того, чтобы подсчитывать количество требуемых 6-значных чисел, определим количество 6-значных чисел, не обладающих нужным свойством. Так как это в точности те числа, в записи которых встречаются только
Решение: Начинающие с 41: 10*10*10=1000, с 42: 1000, 1000+1000=2000. Ответ: 2000.
Задача 14. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?
Решение. Цвет для верхней полоски флага можно выбрать шестью разными способами. После этого для средней полоски флага остается пять возможных цветов, а затем для нижней полоски флага — четыре различных цвета. Таким образом, флаг можно сделать 6 • 5 • 4 = 120 способами.
Задача 15. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
Решение. Белую ладью можно поставить на любую из 64 клеток. Независимо от своего расположения она бьет 15 полей (включая поле, на котором она стоит). Поэтому остается 49 полей, на которые можно поставить черную ладью. Таким образом, всего есть 64 • 49 = 3136 разных способов
2. Задачи для самостоятельного решения, собранные
из разных сборников
Задача 1. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
Задача 2. Каждую клетку квадратной таблицы 2x2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
Задача 3. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 4 Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы того или иного слова.
"ЛИНИЯ".
Задача 5 "ПАРАБОЛА".
Задача 6 "БИССЕКТРИСА".
Задача 7 "МАТЕМАТИКА". .
Задача 8. В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?
Задача 9. Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя
бы одна четная цифра,?
Задача 10. В киоске "Союзпечать" продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?
Задача 11. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
Задача 12. Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?
Задача 13. Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их?
Задача 14. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.
Задача 15. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
