Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Решения
Задание 10
1. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хордыAB равно 12.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, стороны 
и 
равны как радиусы окружностей, 
— общая, следовательно, треугольники и 
равны. Откуда 
Аналогично, равны треугольники 
и 
откуда 
Рассмотрим треугольник найдём по теореме Пифагора:
Рассмотрим треугольник 
он прямоугольный, из теоремы Пифагора найдём 
Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды 
равно 9.
Ответ: 9.
2. 
Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.
Решение.
Проведём построение и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и 
они прямоугольные, — общая, и равны как радиусы окружности, следовательно, эти треугольники равны, откуда 
По теореме Пифагора найдём радиус окружности:
Диаметр равен двум радиусам, следовательно, 
3. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.
Решение.
Пусть длина большей дуги 
равна 
Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:
Ответ: 441.
4. 
Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду MN в её середине — точке K. Найдите длину хорды MN, если KB = 1 см, а радиус окружности равен 13 см.
Решение.
Найдем отрезок OK: OK = OB − KB = 13 − 1 = 12. Так как OB перпендикулярен MN, треугольникMOK — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: 
. Треугольник MON — равнобедренный так как MO = ON = r, тогда MK = KN. Таким образом, MN = MK·2 = 10.
Ответ: 10.
5. 
Прямая касается окружности в точке K. ТочкаO — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Угол, образованный хордой и касательной равен половине дуги, которую он заключает, поэтому величина дуги MK равна 2 · 83° = 166°. Угол MOK — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Значит, угол MOK равен 166°. В треугольнике OMK стороны OK и OM равны как радиусы окружности, поэтому треугольник OMK — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠OKM = ∠OMK = (180° − ∠KOM)/2 = (180° − 166°)/2 = 7°.
Ответ: 7.
6. 
К окружности с центром в точке Опроведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 14 см, AO = 50 см.
Решение.
Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора равен 48 см.
Ответ: 48.
7. 
Найдите величину (в градусах) вписанного углаα, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности.
Решение.
Проведем радиусы OA и OB. Так как по условию задачи хорда AB равна радиусу, то треугольникAOB — равносторонний, следовательно, все его углы равны 60°. Угол AOB — центральный и равен 60° Угол ACB — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол AOB. Таким образом, 
Ответ: 30.
8. 
Найдите длину хорды окружности радиусом 13 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.
Решение.
Проведём построение и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, — общая, и равны как радиусы окружности, следовательно, эти треугольники равны, откуда 
По теореме Пифагора найдём длину отрезка 
Следовательно, 
9. Задание 10 № 339623. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хордыCD, если AB = 20, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, стороны и равны как радиусы окружностей, — общая, следовательно, треугольники и равны. Откуда 
Аналогично, равны треугольники и откуда 
Рассмотрим треугольник найдём по теореме Пифагора:
Рассмотрим треугольник он прямоугольный, из теоремы Пифагора найдём 
Таким образом, 
Ответ: 48.
10. 
Радиус окружности с центром в точке O равен 82, длина хорды AB равна 36 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Решение.
Проведём построение и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и 
они прямоугольные, и равны как радиусы окружности, — общая, следовательно, эти треугольники равны. Откуда 
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём 
Следовательно, расстояние от хорды до параллельной ей касательной равно 82 + 80 = 162.
Ответ: 162.
11. 
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 66°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Сумма углов треугольника равна 180°. Треугольник 
— равнобедренный, следовательно, 
Угол 
— вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол 
— центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, 
Ответ: 114.
12. Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 102 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Решение.
Проведём построение и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, и равны как радиусы окружности, — общая, следовательно, эти треугольники равны. Откуда 
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём
Следовательно, расстояние от хорды до параллельной ей касательной равно 68 + 85 = 153.
Ответ: 153.
13.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30 , BC = 
Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора имеем:
Ответ: 17,5.
14. 
На отрезке AB выбрана точка C так, чтоAC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая черезC. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
Решение.
Проведём радиус 
в точку касания. Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
Ответ: 40.
15. 
Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
Решение.
Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
Найдём 
Ответ: 10.
16. Отрезок AB = 48 касается окружности радиуса 14 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
Решение.
Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём
Найдём 
Ответ: 36.
17. Радиус окружности с центром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 126 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Решение.
Проведём построение и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, и равны как радиусы окружности, — общая, следовательно, эти треугольники равны. Откуда 
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём
Следовательно, расстояние от хорды до параллельной ей касательной равно 65 + 16 = 81.
Ответ: 81.
18. Длина хорды окружности равна 96, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 20. Найдите диаметр окружности.
Решение.
Проведём построение и введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, — общая, и равны как радиусы окружности, следовательно, эти треугольники равны, откуда 
По теореме Пифагора найдём радиус окружности:
Диаметр равен двум радиусам, следовательно, 
19. 
Радиус OB окружности с центром в точкеO пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.
Решение.
Найдем отрезок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB перпендикулярен AC, треугольникAOD — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: 
. Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, AC = AD·2 = 6.
Ответ: 6.
20. 
К окружности с центром в точке Опроведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
Решение.
Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора равен 5 см.
Ответ: 5.
