H-ТЕОРЕМА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ БЕККЕРА–ДЁРИНГА С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДЛЯ ДИФФУЗНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Аджиев С. З. 1, 2, 1

1Московский государственный университет им. , Москва, Россия
2Институт прикладной математики им. РАН, Москва, Россия

adzhiev@nm.ru

Рассматривается система уравнений Беккера–Дёринга. Пусть , , обозначают концентрацию кластеров (твердых частиц), состоящих из молекул вещества A, в момент времени , а – максимально возможный размер кластеров, тогда система уравнений Беккера–Дёринга может быть записана в виде:

, (1)

, , (2)

, (3)

где – частотная функция (сечение) объединения отдельной молекулы с кластером, состоящим из молекул вещества A, а – частотная функция распада такого кластера на отдельную молекулу и кластер, состоящий из -й молекулы.

От дискретного распределения , , можно перейти к континуальной модели, приняв, что , где – минимальное число молекул в кластере, укрупнение которого можно рассматривать как непрерывный процесс. Частотные функции и также заменяются континуальными аналогами и так, чтобы , при . Континуальный аналог (2) имеет вид:

. (4)

Разложив приращения функций в правой части (4) в ряды Маклорена и ограничиваясь двумя членами ряда, получаем диффузное приближение или уравнение типа Фоккера–Планка–Эйнштейна–Колмогорова.

Мы рассмотрели вопрос об -теореме для диффузного приближения и для дискретизации по времени системы уравнений Беккера–Дёринга (1)–(3). Мы доказали, что для дискретизации по времени системы (1)–(3) для функционала

, (5)

где () – некоторое положительное стационарное решение, -теорема при для явной схемы не справедлива, но верна для некоторой частично неявной схемы. В линейном случае, т. е. для (2)–(3) при условии , -теорема с функционалом (5) справедлива для дискретного времени при тех же условиях, что и в случае непрерывного времени: и . Для диффузного приближения с континуальным аналогом функционала (5) -теорема при не верна. В линейном случае она справедлива при тех же условиях, что и в случае непрерывного времени. Этот результат проясняет вопрос о применимости разностных схем и диффузного приближения для системы уравнений Беккера–Дёринга.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 11-01-00012-а, 12-01-33007 мол_а_вед, 11-01-00494-а).