Ранг матрицы

7.4. Ранг матрицы.

В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля, а все миноры высших порядков равны нулю, то такой минор называется базисным. Порядок базисного минора называется рангом матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях, к которым относятся:

1.  перестановка местами двух строк матрицы;

2.  умножение всех элементов строки на некоторое число, отличное от нуля;

3.  прибавление ко всем элементам строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Пример 4. Найти ранг матрицы

А =

Решение: Вычтем первую строку умноженную на 2 из второй строки и первую строку умноженную на 3 из третьей строки. Получим новую матрицу, ранг которой будет такой же, как и у матрицы А:

А≈≈

Так как у последней матрицы есть миноры второго прядка, отличные от нуля, то ранг матрицы А равен 2.

7.5. Системы линейных уравнений.

Системой алгебраических уравнений называется система вида:

, (7.3)

где (i = 1 ÷ m; j = 1 ÷ n) называются коэффициентами системы, а – свободными членами.

Если обозначить

А = ; X= ; B=,

то систему (7.3) можно записать в матричной форме:

AX=B (7.4)

Матрица А называется матрицей системы. Если к матрице А присоединить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы. Решением системы называется n значений неизвестный ,,…, подстановка которых в каждое из уравнений системы, обращает это уравнение в верное равенство. Система совместна, если она имеет хотя бы одно решение и не совместна, если решений нет, если системы имеет единственное решение, то она называется определенной, и система неопределенная, если у нее – бесконечно много решений. Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц А системы и ранги расширенной матрицы равны.

Рассмотрим совместную систему n уравнений с n неизвестными и ранг матрицы системы также равен n. В этом случае единственное решение системы находится по формуле Крамера.

= (i=1÷n) (7.5)

где - определитель матрицы системы, а - определитель, полученный из определителя заменой i-того столбца столбцом свободных членов. Кроме того, такую систему можно решать в матричной форме:

AX=B → X = B (7.6)

Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Правило решения такой системы следующее:

1.  Найти ранг матрицы системы r (напомним, что r = = ).

2.  Находим базисный минор матрицы.

3.  Выбираем те уравнения, коэффициенты при неизвестных у которых входят в этот минор. Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называют базисными и оставляют слева, а остальные (свободные) неизвестные переносят в правую сторону. При любом выборе свободных неизвестных будем по формулам Крамера получать значение базисных неизвестных. Таким образом, получим бесконечное множество решений системы.

Пример 5. Решить систему уравнений:

= = (3+8)+3(612)+5(4+3) = 28

= = (3+8)+3(3+8)+5(22) = 28

= = 28

= = 28

a)  Решим сначала систему по формулам Крамера:

Очевидно, что == = 1

б) Решим систему в матричном виде:

=

Находим матрицу, обратную матрице системы:

Обратная матрица имеет вид:

Подставляя эту матрицу в формулу (7.6) получим решение системы:

= =

Ответ : =

Пример 6. Решить матричное уравнение XA = B, где А = ,

В =

Решение: Чтобы найти матрицу X, умножим обе части уравнения на матрицу справа:

X = B → X = B

Найдем матрицу :

= 1;

Определитель матрицы равен 7. Тогда = и

X = = =

Ответ : X =

Пример 7. Найдите количество базисных неизвестных системы

Решение: Убедимся в совместности системы, вычислив ранги матрицы системы и расширенной матрицы:

→ →

Очевидно, что система совместна и ранг равен 2. Это означает, что число базисных неизвестных равно 2.

Пример 8. Решить систему уравнений:

Решение: Найдем ранг матрицы системы и расширенной матрицы.

→ →

→

Вначале поменяем местами первую и вторую строки, а затем с помощью умножения первой строки на «-2» с последующим сложением со второй и четвертой строкой, а также сложением первой и третьей строки обращаем в ноль элементы первого столбца. Далее, с помощью новой второй строки обращаем в ноль элементы второго столбца. Аналогично, с помощью новой третьей строки обращаем в ноль элементы третьего столбца.

Ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны и равны 3. Система совместна и число неизвестных больше ранга.

В качестве базисного минора может быть выбран минор третьего порядка, стоящий в левом верхнем углу (очерчен штриховой линией), так как он не равен нулю. Тогда базисными неизвестными будут неизвестные , а - свободное неизвестное.

Отбросим последнее уравнение, которое, очевидно, есть линейная комбинация остальных уравнений, и перепишем систему в виде:

Эту систему можно решать методом исключения неизвестных: подставляя во второе уравнение, получим ; подставляя и в первое уравнение, получим :

5 = 2() + = → = ()

= () 3( = ()

Общее решение запишем в виде столбца: = +

Давая произвольные значения, будем получать частные решения системы.