Контрольная работа №1 по теме «Преобразования Фурье»

Контрольная работа №1 по теме «Преобразования Фурье».

Контрольная работа №2 по теме «Основные операции векторного анализа».

1.  Найти векторные линии векторного поля.

2.  Найти поток векторного поля через часть плоскости, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ).

3.  Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, образованную заданными поверхностями (нормаль внешняя) по формуле Остроградского.

4.  Найти циркуляцию векторного поля вдоль заданного замкнутого контура .

5.  Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль заданного замкнутого контура Г по формуле Стокса.

Контрольная работа №2 по теме «Элементы векторного анализа»

ВАРИАНТ №1

Вычислить криволинейный интеграл 1го рода

, где .

Вычислить работу силового поля. Проверить зависит ли интеграл от траектории интегрирования? Если не зависит, то упростить вычисления.

, где .

3. Вычислить поверхностный интеграл , где S – часть плоскости

, заключенная в первом октанте.

4. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности

параболоида вращения , огранич. плоскостью , при .

5.

ИДЗ по теме «Основные операции векторного анализа»

I. Скалярное поле.

1.Определить поверхность уровня поля:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ;  ж) ; з)

2.Найти градиент скалярного поля.

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; ж) ; з) ; и) ;

  к)

3.Найти единичный вектор нормали к поверхности, определяемой уравнением

a)   в точке M(1,1,1);

b)  в точке M(2,4,4);

c)  в точке M(1,1,1);

d)   в точке M(3,4,1)

4.  Найти угол между градиентами полей v(x, y,z) и u(x, y,z) в точке Mo :

a)  , , ;

b)  , , ;

5. Найти угол между нормалями к поверхностям

a)  и в точке (0,1,2);

b)  и в точке (0,1,3);

6.  Найти производную по направлению для поля

a)  в точке Mo(1,2) в направлении к параболе ;

b)   в точке Mo(2,2) в направлении касательной к окружности ;

с) j в точке Mo(2,1) в направлении внешней нормали к эллипсу ;

d) в точке Mo (1, 0, -1) в направлении M(2,-4,3);

e) в точке Mo (1, 1, -1) в направлении M(2,-1,3)

7) Найти единичный вектор нормали к поверхности

a)   в координатах (X, Y);

b)   в координатах (X, Z);

c)   в координатах (X, Z);

d)  цилиндра:  ; z =0; z =1;

e)  сферы:

II. Векторное поле.

1.Найти векторные линии поля

a)  ;

b)  ;

c)  ;

d) ;

e) ;

f) ;

2. Вычислить дивергенцию  поля

a)  ;

b)  ;

c)  ;

d)  ;

e)  ;

f)  ;

g)  ;

h)  ;

i) 

3.  Вычислить ротор поля
a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

h) ;

g) ;

4.  Используя оператор набла
4.1. Вычислить дивергенцию поля

a) ;

b) ;

c) ;

d)

1.2 Вычислить ротор поля

a) ;

b)

4.З. Вычислить
a) ;

b) ;

c) ;

d) 

Указание: - оператор с заданным векторным полем

5.  Поток векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского.

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S:

а) , S:  , z = 1;

б) , S:  z = x2 +y2 , z = 4;

в) , S:  , z = 1;

г)  , S:  , z = 1;

д) , S: положительный октант сферы ;

е) , S: поверхность цилиндра , z = 4;

5.1. По определению;

  5.2 По теореме Гаусса-Остроградского.

6.  Циркуляция векторного поля. Теорема Стока.

Найти циркуляцию векторного поля   вдоль замкнутой линии L:
a) , L: z 2= x2 +y2, z = 1;

b) , L: z = x2 + y2 , z = 4;

c) , L: x + y + z = 1, x = 0 , y = 0, z = 0;

d) , L: , x =0;

e) L: x + y + z = 1,

6.1. По определению;

6.2. По теореме Стокса.

7. Потенциальные и соленоидальные поля.

7.1 Какие из следующих полей являются потенциальными?

a) ;

b) ;

c)

7.2 Найти скалярный потенциал j потенциального поля

a)  ;

b)  ;

c)  ;

d)  ;

e) 

7.3 Какие из следующих полей являются соленоидальными?

a)  ;

b)  ;

c) 

7.4  Найти векторный потенциал  соленоидального поля

a)  ;

b)  ;

c)  ;

d) 

РГР по теме «Приложения векторного анализа и теории поля к задачам механики»

Задача 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .

Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке .

- искомый угол.

Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле .

Дифференциальные уравнения векторных линий поля :

Задача 4. Найти поток векторного поля через поверхности , вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью .

Задача 6. Найти поток векторного поля через часть плоскости , расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью

Задача 7. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Задача 8. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Перейдем к цилиндрической системе координат

Задача 9. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса.

Цилиндрический системы координат

Отсюда,

Задача 10. Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .

отрезок

1)

2)

Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура (в направлении, соответствующем возрастанию параметра

Задача 12. Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура .

Воспользуемся формулой Стокса: