Краевые задачи для стационарного уравнения шредингера в неограниченных областях римановых многообразий

УДК 517.954

доцент кафедры математического анализа и теории функций

Волгоградского государственного университета,

г. Волгоград, Российская Федерация

доцент кафедры математического анализа и теории функций

Волгоградского государственного университета,

г. Волгоград, Российская Федерация

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ[1]

Изучение эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях является достаточно актуальным направлением в современной математике и лежит на стыке дифференциальной геометрии, математического анализа, теории случайных процессов. Важный класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространств ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии.

Достаточно подробно современное состояние исследований в данном вопросе изложено в [2]. С другой стороны, существует широкий класс некомпактных римановых многообразий, которые допускают существование нетривиальных ограниченных решений эллиптических дифференциальных уравнений. Так, например, в [1] и [11] рассматриваются односвязные римановы многообразия с отрицательной секционной кривизной, отделенной от нуля и бесконечности. Строя геометрическую компактификацию многообразия M путем добавления сферы S(∞) на бесконечности, авторы работ доказывают разрешимость задачи Дирихле на о восстановлении гармонической функции по непрерывным граничным данным на S(∞).

Заметим, что задачу Дирихле можно поставить на любом некомпактном римановом многообразии, на котором существует естественная геометрическая компактификация. В частности, это можно сделать на сферически-симметричных многообразиях или на более общих классах модельных и квазимодельных многообразий. Точные результаты, касающиеся теорем типа Лиувилля и разрешимости задачи Дирихле на модельных и квазимодельных многообразиях были получены в работах [3], [7], [8].

С другой стороны, на произвольном некомпактном римановом многообразии постановка задачи Дирихле вызывает затруднения. Однако в [10] был предложен новый подход к постановке краевых задач на некомпактных римановых многообразиях, основанный на введении понятия класса эквивалентных функций и позволивший осуществлять постановку краевых задач на многообразиях, на которых отсутствует естественная геометрическая компактификация (см. также [3], [4], [6], [9]).

Отметим, что все приведенные выше результаты относятся к случаю, когда гармонические функции рассматриваются на некомпактных римановых многообразиях без края (или когда край компактен). Естественным образом возникает вопрос о том, что же будет в случае, когда многообразие имеет некомпактный край, как в этом случае ставить краевые задачи, какие условия являются необходимыми и достаточными для разрешимости таких задач.

В данной работе изучаются решения стационарного уравнения Шредингера

(1)

в неограниченных областях римановых многообразий. Здесь c(x) – гладкая неотрицательная функция, причем c(x) не равна тождественно нулю. Всюду далее решения стационарного уравнения Шредингера (1) будем называть L-гармоническими функциями. Целью работы является получение условий разрешимости некоторых краевых задач для L-гармонических функций в неограниченных областях римановых многообразий.

Перейдем к точным формулировкам. Пусть M – связное некомпактное гладкое риманово многообразие без края и Ω – односвязная неограниченная область в M с C1-гладким краем ∂Ω. Пусть – гладкое исчерпание M, т. е. такая последовательность предкомпактных открытых подмножеств многообразия M с C1-гладкими краями ∂Bk, что , для всех k. Всюду далее будем считать, что исчерпание выбрано таким образом, что множества односвязны и не пусты, ∂Bk и ∂Ω трансверсальны для всех k.

Пусть f1 и f2 – непрерывные на M (на Ω, на ∂Ω, соотв.) функции. Будем говорить, что функции f1 и f2 эквивалентны на M (на Ω, на ∂Ω, соотв.), и использовать обозначение (,, соотв.), если для некоторого гладкого исчерпания многообразия M выполнено равенство (,, соотв.). Отношение «~» является отношением эквивалентности и не зависит от выбора исчерпания M (см. [9], [10]).

Будем говорить, что непрерывная на Ω функция f принадлежит классу допустимых на Ω (на M, соотв.) функций и обозначать fÎK(Ω) (fÎK(M), соотв.), если для некоторого компакта B на Ω\B (на M\B, соотв.) найдется такая L-гармоническая функция u, что (, соотв.; см. также [3], [4], [6]).

Введем понятие L-потенциала многообразия M относительно некоторого компакта BÌM (с гладким краем ∂B). Не ограничивая общности, будем считать, что BÌBk для всех k. Пусть – последовательность решений следующих задач Дирихле в Bk\B:

Последовательность функций в силу принципа максимума монотонно возрастает и сходится к предельной функции , которая является L-гармонической на M\B и на M\B. Функция vM\B называется L-потенциалом многообразия M относительно компакта B (см. также [10]).

Следуя работе [10], многообразие M будем называть L-строгим, если L-потенциал многообразия M относительно некоторого компакта BÌM эквивалентен нулю. Отметим, что свойство L-строгости многообразия не зависит от выбора компакта B (см., напр., [10]).

Определим L-потенциал неограниченной области Ω следующим образом. Обозначим B`k =Bk\Ω. Пусть – L-потенциал многообразия M относительно B`k. В силу принципа максимума, последовательность монотонно возрастает, ограничена а, значит, существует предельная функция vΩ, которая является L-гармонической в Ω, , причем vΩ|∂Ω=1. Функцию vΩ будем называть L-потенциалом множества Ω.

Введем понятие слабой эквивалентности функций. Пусть E – связное неограниченное подмножество M, vH – L-потенциал некоторого множества H, причем для некоторого компакта B. Пусть f1 и f2 – непрерывные на функции. Будем говорить, что функции f1 и f2 слабо эквивалентны на E относительно L-потенциала vH, и использовать обозначение на E, если для некоторой константы C справедливо на .

Обозначим класс слабо эквивалентных f функций относительно L-потенциала vH через K*H(E). Будем говорить, что непрерывная на E функция f принадлежит классу слабо допустимых на E функций относительно L-потенциала vH и обозначать fÎK*H(E), если для некоторого компакта B найдется такая L-гармоническая на E\B функция u, что на E\B.

Замечание 1. Пусть , f1 и f2 – непрерывные на функции, B – некоторый компакт. Тогда, если на E\B, то в силу принципа максимума на E.

С учетом замечания 1 в случае, когда под записью всюду далее будем иметь ввиду то, что на E.

Замечание 2. Если M – L-строгое многообразие и B – компакт, то из следует, что. Обратное, вообще говоря, неверно (для L-строго многообразия M из условия в общем случае не следует, что для некоторого компакта B).

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть B – некоторый компакт и на Ω\B существует L-гармоническая функция u. Тогда найдется такая константа C и L-гармоническая на Ω функция f, что на Ω\B.

В следующих утверждениях получены достаточные условия разрешимости и однозначной разрешимости некоторых краевых задач на Ω.

Теорема 2. Пусть fÎK*Ω(Ω). Тогда для любой непрерывной на ∂Ω функции такой, что на ∂Ω, существует решение следующей задачи в Ω:

Теорема 3. Пусть M – L-строгое многообразие и fÎK(Ω). Тогда для любой непрерывной на ∂Ω функции такой, что на ∂Ω, существует единственное решение следующей задачи в Ω:

Замечание 3. Теоремы 1 и 2 полностью обобщают результат, полученный в [9] для случая, когда M является L-строгим и Ω=M. А именно, в случае, когда Ω=M и M является L-строгим как следствие Теоремы 1, принимая во внимание замечание 2, получаем результат, доказанный ранее в [9] (Теорема 1, импликация ). В случае, когда M является L-строгим и Ω=M\B, где B – некоторый компакт, как следствие Теоремы 2 получаем импликацию теоремы 1 указанной работы. Обратные импликации очевидны.

Отметим также, что в работе рассмотрен случай, когда функция c(x) в уравнении (1) не равна тождественно нулю. В случае, когда , стационарное уравнение Шредингера превращается в уравнение Лапласа–Бельтрами. Отметим, что в случае рассмотрения L-гармонических функций появляются некоторые отличия по сравнению с гармоническими функциями (т. е. решениями уравнения Лапласа–Бельтрами). Так, например, тривиальность пространства ограниченных гармонических функций на многообразии без края эквивалента тривиальности пространства неотрицательных гармонических функций на таких многообразиях (см., напр., [2]). Для L-гармонических функций данное свойство уже не выполняется (см., например, [6]). Результаты, касающиеся вопросов разрешимости некоторых краевых задач для гармонических функций в неограниченных областях римановых многообразий и на конусах модельных многообразий можно найти, напр., в [5].

Список использованной литературы

1. Anderson, M. T. The Dirichlet problem at infinity for manifolds with negative curvature // M. T. Anderson. J. Diff. Geom. 1983. V. 18. 4. P. 701-721.

2. Grigor'yan, A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // A. Grigor'yan. Bull. Amer. Math. Soc. 1999. V. 36. N. 2. P. 135-249.

3. Корольков, функции на римановых многообразиях с концами // . Сиб. мат. журнал. 2008. Т. 49. N. 6. С. 1319-1332.

4. Корольков, эллиптических уравнений на римановых многообразиях с концами // , . Вестник ВолГУ. Сер. 1: Математика. Физика. 2011. N. 1. С. 23-40.

5. Корольков задачи для гармонических функций в неограниченных областях римановых многообразий // , . Вестник ВолГУ. Сер. 1: Математика. Физика. 2013. N. 1. С. 45-58.

6. Korolkov, S. A. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends // S. A. Korolkov, A. G. Losev. Mathematische zeitschrift. 2012. V. 272. N. 1-2. P. 459-472.

7. Лосев, лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида // . Изв. вузов. Математика. 1991. N. 12. С. 15-24.

8. Лосев, решения уравнения Шредингера на римановых произведениях // , . Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. N 1. С. 84-110.

9. Losev, A. G. Unbounded solutions of the Stationary Shrodinger equation on Riemannian manifolds // A. G. Losev, E. A. Mazepa, V. Y. putational Methods and Function Theory. 2003. V 3. N 2. P. 443-451.

10. Мазепа, задачи для стационарного уравнения Шредингера на римановых многообразиях // . Сиб. мат. журнал. 2002. Т. 43. N 3. С. 591-599.

llivan, D. The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifolds // D. Sullivan. J. Diff. Geom. 1983. V. 18. N 4. P. 723-732.

© , , 2014

[1] Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-97038-р_поволжье_а)