ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКИ
– МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВЫПУСКНАЯ БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ ВБЛИЗИ ЭКРАНА
Работа завершена:
«___»___________2015г. _____________
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
Кандидат физ.-мат. наук, доцент
«___»___________2015г. _______________
Заведующий кафедрой:
Доктор физ.-мат. наук, профессор
«___»___________2015г _________________
Казань – 2015 год
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
1.Постановка задачи....................................................................................... 5
2.Решение......................................................................................................... 6
3.Вычисление интеграла типа Коши............................................................ 12
4.Результаты расчетов.................................................................................. 14
Заключение.................................................................................................... 23
Список литературы....................................................................................... 24
Введение
Теория потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости – наиболее развитый раздел современной гидромеханики. Объясняется это двумя обстоятельствами. Во-первых, данная теория имеет целый ряд важных практических приложений и дает вполне приемлемые результаты в тех областях исследования, где вязкость жидкости можно пренебречь. Сюда относят струйные и кавитационные течения, поверхностные волны на воде, течения около крыловых профилей при дозвуковых скоростях [1,2]. Во-вторых, при исследовании плоских потенциальных течений можно с успехом использовать глубоко развитый аппарат теории функций комплексного переменного: технику конформных отображений, вариационные методы и метод интегральных уравнений, что позволяет во многих случаях получить точное аналитическое решение задачи.
Задачи взаимодействия потоков с различными константами Бернулли даже в рамках ИНЖ сложны, так как в данных задачах функция комплексного потенциала терпит скачок на линии раздела сред. Чаще всего применяются итерационные методы решения. Примерами рассматриваемых проблем является задачи: о движении тела вблизи свободной поверхности; движение тел с выдувом реактивных струй; взаимодействие, соударение струй с различными константами Бернулли; движение тел вблизи твердого экрана.
В настоящей работе рассмотрена задача об обтекании пластинки вблизи экрана. Экран интерпретируется как плоскопараллельный поток очень тяжелой жидкости. Классический подход к решению таких задач, заключается в использовании аппарата эллиптических функций для решения краевой задачи в двусвязной области [3].
В данной работе применялся другой подход, который был предложен [4], заключающийся в введении фиктивного плоскопараллельного потока ИНЖ под экраном. В этом случае область течения становится односвязной, а решение задач сводится к отысканию кусочно аналитической функции комплексного потенциала.
Также в работе изложен метод численного интегрирования интеграла типа Коши, проведена серия расчетов распределения скорости и коэффициента давления по поверхности плоской пластинки, построены линии тока.
1. Постановка задачи
В физической плоскости 
на пластинку CB длиной l, натекает поток ИНЖ со скоростью 
(рис. 1). Пластинка расположена под углом 
к горизонту и на расстоянии h от экрана. Точка A – точка разветвления потока, точка B – задняя кромка, является точкой схода потока, h – расстояние между точкой B и экраном. Направим ось 
по горизонтали вправо, так чтобы ось совпадала с линией экрана L. Ось 
проведем через точку B.
Требуется построить распределение скорости 
и коэффициент давления 
по поверхности пластинки, а так же линии тока.
Рис. 1. Физическая плоскость z
2. Решение
Согласно [4] под экраном введем фиктивный плоскопараллельный поток тяжелой ИНЖ со скоростью , и рассмотрим кусочно-аналитическую функцию 
. При этом линия L экрана, будет линией раздела сред, являющейся линией тока.
Введем каноническую область 
(рис. 2), в которой течению в физической плоскости будет соответствовать обтекание цилиндра единичного радиуса. Скорость потока 
направлена под углом 
к горизонту. Поток разделяется в точке A с координатой 
на окружности и сходит в точке B с координатой 
. Обозначим за 
образ экрана в плоскости .
Рис. 2. Каноническая плоскость 
Применив функцию Жуковского, найдем отображение 
. Потребуем, для однозначности отображения, переход точки в точку 
и соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей 
и :
(1)
Используя обратную функцию Жуковского, не трудно найти обратное отображение 
:
(2)
Отобразив линию L при помощи (2), можно найти – образ экрана в плоскости .
Согласно [4] введем комплексно сопряженную скорость в плоскости в виде:
(3)
где 
. 
– реальная, 
– мнимая часть 
.
Введем функцию Жуковского – Мичела 
:
(4)
Выделим особенности этой функции в критических точках и на линии , построив функцию:
,
и введем функцию: 
Выразим из (4) комплексно сопряженную скорость:
. (5)
Продифференцировав (1), найдем:
(6)
С другой стороны 
можно получить из формулы, (3) на (5) в виде:
. (7)
Так как функция (7) аналитическая, следовательно, функция 
тоже является аналитической, и скачок на убран правильно.
Рассмотрим (7) на бесконечности с учетом формул (3), (5), (6):
,
откуда найдем:
. (8)
Выразим из (7) :
(9)
Подставив формулу (6) и соотношение (8) в формулу (9) получим, что для нашей задачи функция 
.
Рассмотрим функцию 
на окружности 
, откуда следует, что:
. (10)
Комплексно сопряженная скорость отыскивается в виде:
,
где 
– непрерывная функция (аналитическая, может иметь особенности в некоторых точках), 
– содержит скачок на линии L, т. е. кусочно аналитическая.
.
Прологарифмируем и рассмотрим на границе линии раздела, где 
. Получим 
. Для удовлетворения этого условия приходится организовывать итерационный процесс.
(11)
Функция , удовлетворяющая заданному скачку на и условию 
, можно найти по формуле [4]:
. (12)
Здесь черта означает комплексное сопряжение. – интеграл типа Коши [5]:
Не трудно показать, что:
Интеграл типа Коши является функцией аналитической во всей комплексной плоскости, кроме точек контура . Для вычисления данного интеграла необходимо знать линию интегрирования , которая в нашей задаче известна, и функцию плотности 
.
Для нахождения неизвестной заранее функции , организуем итерационный процесс по следующей схеме:
На начальном этапе задаем начальное приближение, например 
.
Основной этап итерационного процесса содержит следующие шаги:
1. Вычислим по формуле (12), т. е. определим 
, 
и 
.
2. Найдем точку разветвления потока в канонической плоскости , где 
выразим из формулы (10).
3. Затем определим скорость 
на экране используя (5)
4. Подставляя 
в формулу (11), вычислим новое приближение функции 
.
Итерационный процесс продолжается, пока не выполнится следующее условие:
Найдем распределение скорости по пластинке.
Функцию 
найдем из формулы (5), подставив :
Дуговую абсциссу представим в виде:
где 
выразим, как 
. Тогда
Зная, найдем коэффициент давления по пластинке по формуле:
3. Вычисление интеграла типа Коши
Основной сложностью является вычисление интеграла (13). Интеграл типа Коши построен так же, как и интеграл Коши, только –произвольная комплексная функция, а линия 
– может быть незамкнутой:
где функция называется его плотностью, – ядром.
Функция (14) дает решение задачи Римана об определении двух аналитических функций 
через значение скачка на границе 
.
По формулам Сохоцкого [6], если 
:
где – особый интеграл, взятый в смысле главного значения по Коши.
Если 
, то интеграл (14) без особенностей. Подынтегральную функцию разбиваем на реальную и мнимую часть. Интегрируем по отдельности любым удобным методом. Необходимо учесть, что 
, где 
и 
– угол наклона касательной и дуговая абсцисса линии .
Если 
, тогда разбиваем (14) на две части:
Первый интеграл 
не содержит особенностей, так как в точке 
, подынтегральная функция вычисляется как:
и не имеет особенностей второй интеграл 
, вычислим аналитически:
Если – замкнута, то 
, иначе 
, где 
и 
– начало и конец линии .
Основная сложность численного вычисления инт. типа Коши в правильном нахождении 
, так как функция arg многозначна.
Для определенности будем считать, что ищем 
, т. е. подходит к слева. Введем в рассмотрение функцию 
— функция для всех точек . При правильном выборе ветви 
, 
не должна иметь скачков, кроме точки , где ее скачок должен иметь значение равное 
. Если это не так, то добавим или отнимем 
на нужных участках, пока не добьемся нужного поведения . После этого вычислим 
.
Тогда из формул Сохоцкого:
,
,
.
4. Результаты расчетов
Для проведения расчетов составлена программа на языке Fortran. Не теряя общности, во всех расчетах полагалось, что скорость набегающего потока 
, и длина пластинки
. Проведена серия расчетов распределения скорости и коэффициента давления по поверхности плоской пластинки, построены линии тока.
В ходе работы программы, был найден образ экрана в плоскости . На рис. 3 показана линия при 
.
Рис. 3. Образ экрана в плоскости
Также при следующих значениях 
на рис.4 изображен график функции 
, где 
– дуговая абсцисса линии .
Рис. 4. График зависимости
Результаты работы программы сравнивались с другим аналитическим решением [3], где используется аппарат эллиптических функций. На рис. 5 представлено распределение скоростей при 
, 
. На рис. 6 распределение скорости по пластинке при 
, 
. На обоих графиках сплошной линией построено аналитическое решение [3], точками отмечены значения, полученные при помощи программы.
Рис. 5. Сравнение решений при 
, 
Рис. 6. Сравнение решений при 
, 
Из рис. 5 и рис. 6 видно, что результаты, полученные при помощи метода [3], полностью совпали с нашим решением.
На рис. 7 и рис 8 показано распределение скоростей и коэффициента давления по пластинке при 
. Сплошной линией обозначен график при , — штриховая линия, 
— штрих-пунктир.
Рис. 7. 
при
Рис.8. 
при
Распределение скоростей и коэффициента давления по пластинке при
показано на рис. 9 и рис. 10:
— штрих-пунктир, — штрих, — сплошная линия.
Рис. 9. при 
Рис.10. при
На рис. 11 и рис. 12 построены графики распределения скоростей и коэффициента давления по пластинке при
и разных углах , 
— штрих-пунктир, 
— штрих, — сплошная линия.
Рис.11. при 
Рис.12. при
На рис. 13 и рис. 14 построены графики распределения скоростей и коэффициента давления по пластинке при
и разных углах , — штрих-пунктир, — штрих, — сплошная линия.
Рис.13. при 
Рис.14. при
На рис. 15 изображены линии тока при и .
Рис. 15. Линия тока при ,
Линии тока при и построены на рис. 16.
Рис. 16. Линия тока 
,
Линии тока при малых 
, можно увидеть на рис. 17, где и .
Рис. 17. Линия тока ,
На рис. 18 показаны линии тока при и .
Заключение
Таким образом, поставленная задача об обтекании пластинки вблизи твердого экрана решена. Решение было получено в численно-аналитическом виде. Так же был организован итерационный процесс для нахождения неизвестной функции . Проведены 4 серии расчетов: 1) при малом угле между пластинкой и экраном, 2) при большом угле между пластинкой и экраном, 3) при малом расстоянии задней кромки пластинки от экрана, 4) при большом расстоянии задней кромки пластинки от экрана. Построены линии тока при разных параметрах и . Входе работы были сделаны следующие выводы:
— Решение, полученное методом [4], полностью совпало с решением, описанным в [3].
— Скорость потока воздуха в т. 
равна нулю.
— В передней кромке пластинки коэффициент давления стремится в минус бесконечность, в результате чего возникает, так называемая, подсасывающая сила, что затрудняет нахождение коэффициента подъемной силы.
— В задней кромки пластинки поток сходит, и скорость потока не превосходит скорости на бесконечности.
— При уменьшении высоты , коэффициент давления в каждой точке нижней поверхности пластинки возрастает, что говорит о появлении экранного эффекта. На верхней поверхности пластинки значительных изменений не наблюдается.
Список литературы
1. Гуревич струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536с.
2. Лойцянский жидкости и газа: Учеб. для вузов. — 7-е изд., испр — М. Дрофа, 2003 — 840 с., 311 ил., 22 табл.. — (Классика отечественной науки)
3. Седов задачи гидродинамики и аэродинамики. 3-е изд. — М. 1980.
4. , Об одной задаче взаимодействия потоков с разными константами Бернулли, Тр. сем. по краев. задачам, 1983, выпуск 20, 159–170
5. , Шабат теории функций комплексного переменного. 6-е изд., стер.–СПб.: Издательство «Лань», 2002 г.–688с.
6. Гахов задачи. Изд. 3-е. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977.
7. Седов сплошной среды, т. 2, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1976 г., стр. 576.
