ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И МНОГОГРАННИКА.
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия»
Ле Корбюзье
«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать»
Галилео Галилей
Итак, правильно мыслить и рассуждать... О чем? Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией гор и полей, домов и улиц - творениями природы и человека. Как научиться видеть пространство вокруг себя, видеть объем окружающих предметов, перспективу, наконец? Неужели это нужно только математику? Ответ на последний вопрос очевиден, не правда ли?
Изучая в течение трех лет планиметрию, ученики во многом теряют пространственные представления, что создает большие трудности в усвоении теоретического материала и решении задач по стереометрии. Как мне кажется, положение можно поправить, если не только пользоваться моделями стереометрических фигур, но и учить изображать названные фигуры, правильно читать чертежи. Но этого мало. Надо научить детей строить сечения многогранников. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, систематизации знаний и умений, развитию пространственных представлений и конструктивных навыков школьников.
Трудности, возникающие у учащихся при решении этих задач, общеизвестны, однако, проблема не была решена полностью. В учебнике, да и в других, впрочем немногочисленных, пособиях по этому вопросу разбираются всего по две-три задачи. В их решении используются разные методы, но связь между ними для учеников не очевидна.
Прослушав в АППО лекцию о принципах построения сечений, я проработала эту идею и уже много лет изучаю названную тему так.
1занятие ( 2 урока)
A) Рассмотреть взаимное расположение плоскости и многогранника (одна общая точка, общее ребро, общая грань, пересечение ребер многогранника плоскостью).
Б) Дать определение сечения. Сечением многогранника плоскостью называется многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
B) Структурировать информацию главы учебника («Параллельность прямых и плоскостей») и на основе уже известных аксиом и теорем вывести принципы построения сечений.
Известное утверждение | Принцип построения сечения |
1. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. | 1. Если известны две точки секущей плоскости, принадлежащие плоскости одной грани, то провести через них прямую и найти часть этой прямой, лежащую в грани. |
2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. | 2. Если известна прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани, то нужно найти точки пересечения этой прямой с продолжениями ребер этих гранией. |
3. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. | 3. Параллельные грани персекаются секущей плоскостью по параллельным прямым. |
4. Если прямая пересекает плоскость, то она пересекается со своей проекцией на эту плоскость. | 4. Если прямая проходит через две точки секущей плоскости не параллельно плоскости грани, то найдем точку пересечения этой прямой с ее проекцией на плоскость данной грани. Эта точка принадлежит секущей плоскости. |
 |
По ходу разговора вспоминаем, какими элементами можно задать плоскость. После обсуждения каждого принципа я на доске, а дети в тетрадях строим сечение, иллюстрируя каждое утверждение.
1 принцип
 |
 |  |
Для экономии времени у детей уже заготовлены изображения тетраэдров и параллелепипедов, на доске такие же фигуры выполнены скотчем, что позволяет строить чертежи на одном и том же изображении, быстро стирая меловые линии предыдущего построения( Так я работала при отсутствии электронной доски. Думаю, что это ещё и сейчас может быть актуальным.)
 |
 |
2 принцип
 |
3-й принцип
Уже сделав чертежи по второму принципу, можно попросить детей сформулировать свойства правильно построенного сечения. Их четыре:
1. Сечение - многоугольник, число сторон которого не больше числа граней многогранника.
2. Его вершины лежат на ребрах, а стороны в гранях.
3. В каждой грани лежит не более одной стороны сечения.
4. Стороны сечения, лежащие на параллельных гранях, параллельны.
· 4-ый принцип построения сечений оставляем на следующее занятие.
Домашнее' задание дается в чертежах, где по заданным элементам требуется построить сечения нескольких многогранников (примерно 10 штук)
2-е занятие
. На доске в качестве «моего» домашнего задания выполнены 6-8 чертежей, где нарушены свойства правильно построенных сечений, обсуждается подробно каждая ошибка.
Например:
После разбора ошибок дается маленькая проверочная работа (построить сечения в тетраэдре и параллелепипеде) и разбираем 4-ый принцип построения сечений
 |
4-ый принцип
 |
Точка Р в боковой грани
.
Домашнее задание аналогично предыдущему.
3-е занятие.
Дети получают лист с 5 заданиями, построения выполняются здесь же, работа подписывается на обратной стороне тем же цветом, которым построено сечение.
. На перемене я раскладываю все работы так, чтобы фамилия автора осталась пока не известна и в начале урока предлагаю каждому найти такую работу, где, по его мнению, есть много ошибок, а затем исправить их карандашом другого цвета и тоже подписать работу.
В конце урока эти работы сдаются, проверять их легко с помощью заранее приготовленных калек, причем каждый ученик получает по две оценки: за построение и за проверку.
На последнем (пятом) уроке проводится зачетная работа, аналогичная предлагавшейся на практическом занятии, но уже проверяется учителем и выставляется одна оценка.
Я понимаю, что учебный план предусматривает меньшее количество часов на изучение этой темы, но такая «расточительность » сторицей окупается в будущем.
По итогам зачетной работы прошлого года в двух десятых классах из 64 учащихся получили
«5» - 22 учеников (34%)
«4» - 26 ученика (41%)
«3» - 16 учеников (25%)
Литература.
1. C. и др. «Геометрия 10-11»
2. «Обучение решению задач на построение сечений». Математика в школе, N 5, 1991г
3. , , «Практикум по элементарной математике. Геометрия». М., Просвещение, 1992 г.
