Тема: Переход от периодической дроби к обыкновенной.
Цель : Расширение понятие числа. Ознакомление учащихся с правилом представления периодической дроби в виде обыкновенной. Ознакомление с представлением периодической дроби в виде бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Научить превращать периодическую дробь в обыкновенную.
Ход урока:
I. Оргмомент.
II. Изучение нового материала (лекция).
Множество действительных чисел, как вы уже знаете, состоит из чисел рациональных и иррациональных, и притом каждое действительное число момент быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби.
Всякое рациональное число 
представляется в виде бесконечной десятичной периодической дроби. В этом можно убедиться обыкновенным делением уголком : 
Оказывается, что справедливо и обратное утверждение : всякая бесконечная периодическая дробь представляет рациональное число.
Покажем на примере, как можно от бесконечной периодической дроби перейти к равной ей обыкновенной дроби.
1. Возьмём действительное число α = 0,(41), тогда 100α = 41,(41)
100α – α = 41,(41) – 0,(41)
99α = 41
α = 
.
α = 0,(6) 10α = 6,(6)
10α – α = 6,(6)
9α = 6
α = 
α = 0,(123) 1000α = 123,(123)
1000α – α = 123,(123) - 0,(123)
999α = 123
α = 
Мы видим, что можно не выполнять каждый раз вычисления, а просто, чтобы представить периодическую дробь в виде обыкновенной, в числитель столько 9, сколько цифр в периоде. Например 0,(81) = 
2. Рассмотрим смешанное число α = 0,3(18)
10α =3,(18) 1000α = 318,(18)
1000α - 10α = 318,(18) – 3,(18)
990α = 315
α = 
α = 0,1(23); 10α = 1,(23) 1000α = 123,(23)
1000α - 10α = 123,(23) - 1,(23) = 122
990α = 122
α = 
3. α = 3,254(9) 1000α = 3254,(9) 10000α = 32549,(9)
10000α - 1000α = 32549,(9) – 3254,(9)
9000α = 29295
α = 
Здесь тоже есть своя закономерность и громоздкие вычисления не выполнять. Чтобы представить смешанное число в виде обыкновенной, нужно в числителе написать разность чисел, одно из которых число до второго периода, а второе – число до первого периода, а в знаменателе написать столько 9, столько цифр в периоде и столько 0, сколько цифр до периода.
Например : 0,21(5) = 
0,24(06) = 
В старых учебниках арифметики формулировалось специальное правило перевода периодической дроби в обыкновенную: надо в её числителе записать период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде.
Например: 0,(13) = 
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и разделить полученную разность на число, состоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр после запятой до первого периода.
Например: 0,5(13) = 
Пользуясь этим правилом, представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(72) ; б) 0,(123) ; в) 0,1(11); г) 0,24(06) .
3. А сейчас рассмотрим ещё один способ обращения бесконечной периодической дроби в обыкновенную. Для этого воспользуемся формулой суммы бесконечного убывающей геометрической прогрессии. 
Эта формула справедлива только при |q|<1.
Задача 1: Пользуясь формулой, записать бесконечную периодическую последовательность приближённых значений данной бесконечной дроби:
в виде обыкновенной. Составим следующую последовательность приближённых значений данной бесконечной дроби:
Значит, данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Пример 2. 0,2(3) = 0,2 +0,03 + 0,003 + … = 0,2 + 
Сравнивая способы превращения периодической дроби в обыкновенную, каждый момент выбрать для себя более удобный.
III. Закрепление.
1. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число
2. Сравните: а) 0,(52) и 0,(523); б) 2, (619) и 2,6(19) .
3. Придумайте какую-нибудь периодическую дробь, заключённую между числами:
а) 0,(6) и 0,(16) ; б) 0,(30) и 0,(300) ; в) 
4. Представьте в виде обыкновенной дроби следующую десятичную периодическую дробь а) 0,(6); б) 0,5(9) ; в) 0,(12); г) 0,(135); д) 0,2(36) ; е) 0,31(4) .
5. Представьте в виде обыкновенной дроби: а) 0,111… ; б) 0,101010… ; в) 0,010101…
Рекомендация: Чтобы проверить себя, разделите числитель на знаменатель уголком, и вы получите первоначальную дробь, если решили верно.
IV. Используемая литература :
1. «Алгебра – 9» , , изд «Просвещение» 2009 (Москва)
2. «Изучение алгебры 7-9» , изд «Просвещение» 2002 (Москва)
3. «Алгебра-9» , изд «Просвещение» 1992 (Москва)
4. Справочник школьника. Математика , , изд «Астрель» 2010
