Несколько задач, составленных и решенных и внесенных в Интернет сайт школы №46

Несколько задач, составленных и решенных и внесенных в Интернет сайт школы №46.

Вашему вниманию предлагается тип задач на нахождение отношения объемов пирамид, заданный и встроенный в нее каким-либо образом.

Рассматривается именно такой вариант условий, когда рациональность решения во многом зависит от удачного выбора оснований пирамид.

Эти задачи составлены, как укрупнение задач, приведенных в данном реферате.

Задача №1

Дана пирамида ABCD. Точка М – есть середина ребра CD. Точка N лежит на ребре CD. Причем отрезок MN параллелен медиане треугольника ABC. Точка K лежит на ребре BD.

В каком отношении точка K делит ребро BD, если известно, что объем пирамиды KAMND, отсеченный от данной пирамиды, составляет 3/5 части объема многогранника, дополняющего отсеченную пирамиду до данной.

Решение

Представим основания упомянутых пирамид в плоскости ACD. Выразим площади и .

где h – высота треугольника ACD, проведенная из вершины A. Из соображений подобия высота h1, проведенная в треугольнике MCN из вершины M, равна 1/2h.

Основание же CN равно 1/4CD.

Тогда

Пусть DK:KB=m:n. Тогда DK:DB=. Если и - суть высоты пирамид KAMND и BACD, соответственно проведенных из вершины K и B.

Из соображений подобия

Так как , то

, откуда имеем:

То есть

Ответ: 3:4.

Аналогично можно решить следующие задачи:

Задача №2

Дана пирамида ABCD. Точки M и N лежат на ребре AD так, что AM:MN=2:1 и MN:ND=2:3.

Точка P лежит на ребре DC.

А) В каком отношении точка К делит ребро DC, если отношение объема пирамиды KMNP к объему пирамиды ABCD равно 1/15?

Б) При каком расположении точки К получается наибольшее значение отношения объемов и , и чему оно равно?

Ответ: а) если DK:KC=3:1

б) получается, если точка совпадает с вершиной С.

Решение

а) MN=1/2AM;

AD=3/2MN=3/2*1/2AB=3/4AM

AM:1/2AM:3/4AM=1:1/2:3/4=4:2:3.

то есть DK:KC=3:1

б) если

При этом

Задача №3

Основанием пирамиды DABC служит правильный треугольник ABC. Точки L, M, N лежат соответственно на ребрах AB, BC, AC. Причем AL=1/2BL; BM=2/5CM; CN=5/4AN.

Точка лежит на ребре DA так, что отношение объема пирамиды к объему пирамиды DABC равно 5/27.

Определить: а) в каком отношении точка делит ребро AD;

б) место текущей точки К ребра AD,

если

Ответ: а) A: D=25/24

б) при 5/27 49/135 K D.

Решение

Пусть a и h суть сторона и высота правого треугольника ABC. Тогда . Высота треугольника LAN равна 1/3h, высота треугольника MBL равна 2/5h; высота треугольника NCM равна 5/9h.

Основание AN треугольника LAN равно 4/9а;

Основание BL треугольника MBL равно 2/3a;

Основание MC треугольника NMC равно 2/5а.

Пусть Н – высота пирамиды DABC и A: D=

Тогда из соображений подобия высота пирамиды KLMN равна

По условию имеем:

49/135*=5/27;

49/5*=5

49m=25m+25n

24m=25n

m:n=25:24

Ответ: а)

б) при 5/27 К