Тест 1

ТЕСТ 1

1. Даны матрицы и .

Выяснить, какие из следующих операций можно выполнить:

1) A+B; 2) А′+В; 3) А+В′; 4) АВ; 5) ВА; 6) А′В; 7) АВ′; 8) А′В′; 9) В′А′

2. Даны матрицы:

; . Найти В′А′АВ.

3. Дана матрица . Найти матрицу .

4. Дана матрица . Найти определитель матрицы .

5. Выяснить, какие из приведенных ниже матриц имеют обратные:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

6. Расположить матрицы в порядке убывания их рангов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

7. Сколько линейно независимых строк имеет матрица С=(ВА)′+А′В′-D,

где ; ; ?

8. Предприятие выпускает три вида продукции, используя два вида сырья, нормы расходов сырья на единицу продукции задаются матрицей . Определить денежные расходы предприятия на осуществление выпуска товаров, задаваемого матрицей , если стоимость единицы каждого вида товаров выражается матрицей Р=(2;3).

9. По формулам Крамера решить систему:

В ответе указать значения переменных и определителя .

10. Методом обратной матрицы решить систему уравнений:

В ответе указать значения переменных и элемент обратной матрицы .

11. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Выберите верное утверждение:

1) система определенная; 2) система несовместная; 3) система неопределенная.

12. Система из трех уравнений с тремя переменными, заданная в матричном виде АХ=В, несовместна в следующих случаях:

1) 2)

3) 4)

5)

Выберите верные варианты ответов.

13. Выяснить, какие из приведенных матриц являются продуктивными:

1) 2)

3) 4)

14. Дана матрица прямых затрат и вектор валового выпуска . Найти компоненты вектора конечного продукта .

15. Дана матрица полных затрат и вектор конечного продукта . Найти компоненты вектора валового выпуска .

16. Установить соответствие между рисунками и векторными равенствами:

а) б) в) г)

17. Определить длину вектора , если ˆ.

18. Найти , где - единичные векторы, удовлетворяющие условию

19. Даны векторы , . Найти (с точностью до 0,1) проекцию вектора () на направление вектора ().

20. Выяснить, какие из приведенных троек векторов образуют базис в пространстве :

1)  (0;0;1), (0;1;0), (0;1;1);

2)  (0;0;1), (1;0;0), (0;1;0);

3)  (1;1;1), (0;1;0), (2;2;2);

4)  (1;1;1), (0;1;0), (1;0;0).

21. Найти (в градусах) острый угол между прямыми 4х-2у-7=0 и .

22. Какие из данных прямых перпендикулярны прямой 2х-у+3=0:

1) 4х+8у+17=0; 2) 4х-8у-11=0; 3) ;

4) у=-2х-7; 5)

23. В треугольнике АВС известны вершины треугольника А(-4;3), В(2;5), С(6;-2). Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А.

24. Найти координаты центра (хо, уо) и радиус R окружности .

25. Найти соответствие между утверждениями относительно двух плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 (1), A2x+B2y+C2z+D2=0 (2), прямой и их признаками:

1) плоскости параллельны; а) A1А2+B1В2+C1С2=0;

2) плоскости перпендикулярны; б)

3) плоскость (1) и прямая параллельны; в) A1m+B1n+C1p=0;

4) плоскость (1) и прямая перпендикулярны. г)

26. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;3;-1) параллельно плоскости 4х-2у+5z-3=0.

27. Убедившись в том, что прямые и пересекаются, найти их точку пересечения (х0,у0,z0).

28. Найти матрицу , предварительно приведя ее к более простому виду, где:

1) .

2) .

3) .

4)

5) .

29. Методом Гаусса решить систему уравнений, заданную в матричной форме: АХ=В. Найти ранг матрицы А. Дано:

1) .

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

30. Даны вершины треугольника. Найти уравнение и длины высоты и медианы, проведенных через вершину С. Сделать чертеж.

1)  A(3;0), B (-5;6), C(-4;1).

2)  A(10;2), B (2;8), C(3;3).

3)  A(6;2), B (-2;8), C(-1;3).

4)  A(8;3), B (0;9), C(1;4).

5)  A(5;-1), B (-3;5), C(-2;0).

31. Привести уравнение кривой второго порядка f(x,y)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах+Ву+С=0. Построить графики кривой и прямой:

1)

2)

3)

4)

5)

32. Найти точку , симметричную точке М относительно плоскости:

1)  M(1,0,1), 4x+6y+4z-25=0

2)  M(-1,0,-1), 2x+6y-2z+11=0

Найти точку , симметричную точке М относительно прямой:

3)  M(0,-3,-2),

4)  M(2,-1,1),

5)  M(1,1,1),

33. Даны четыре вектора а1, а2, а3 и а4 в некотором базисе. Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис, и найти координаты вектора а4 в этом базисе:

1)  а1=(1;3;5), а2(0;2;0), а3 (5;7;9), а4 (0;4;16)

2)  а1=(2;4;-6), а2(1;3;5), а3 (0;-3;7), а4 (3;2;52)

3)  а1=(4;3;-1), а2(5;0;4), а3 (2;1;2), а4 (0;12;-6)

4)  а1=(3;4;-3), а2(2;1;-4), а3 (-5;5;0), а4 (8;-16;17)

5)  а1=(-2;1;7), а2(3;-3;8), а3 (5;4;1), а4 (18;25;1)

34. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Привести к диагональному виду матрицу А (если это возможно):

1)

2)

3)

4)

5)

35. Привести к каноническому виду квадратичную форму L:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 2

1. При каких значениях а, b, c для матрицы выполняется равенство ?

2. Дана матрица . Найти определитель матрицы .

3. Выяснить, какие из приведенных ниже матриц являются нулевыми (А и В – квадратные матрицы):

1)  ВА-АВ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  .

4. Даны матрицы: , . Найти след trC матрицы С=АВ-ВА+А+В.

5. Выяснить, при каком значении а ранг матрицы А является наименьшим среди рангов приведенных матриц:

.

6. По формулам Крамера решить систему уравнений:

В ответе дать значения переменных х1, х2 и определителя .

7. Выяснить, какой из методов можно применить для решения системы уравнений:

1)  метод обратной матрицы; 2) по формулам Крамера; 3) метод Гаусса.

8. Дано матричное уравнение АХВ=С. Его решение с помощью обратных матриц имеет вид:

1)

2)

3)

4) .

9. Для системы уравнений

найти базисное решение (х1, х2, х3), получаемое при выборе в качестве основных (базисных) переменных х1, х2.

10. Для системы уравнений

найти фундаментальную систему решений. В ответе дать число таких решений.

11. Дана матрица прямых затрат А в модели Леонтьева: . Найти матрицу полных затрат S. В ответе дать ее элементы s11 и s21.

12. Две стороны квадрата лежат на параллельных прямых 3х+4у+25=0 и 3х+4у+50=0. Найти площадь квадрата.

13. В треугольнике АВС заданы А(0;2), В (4;0) и точка пересечения высот М . Найти уравнение стороны ВС.

Ответ: 4х+Ву+С=0, где В=…, С=…

14. Составить уравнение биссектрисы тупого угла между прямыми 3х+у-12=0 и у=0.

Ответ: 3х+Ву+С=0, где В=…, С=…

15. Траектория движения линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2) вдвое меньше, чем от прямой х+1=0, есть:

1)  прямая линия;

2)  окружность;

3)  эллипс;

4)  гипербола;

5)  парабола.

16. Составить уравнение прямой, проходящей через центр гиперболы и вершину параболы

Ответ: х+Ву+С=0, где В=…, С=…

17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (-1;2;-3) и перпендикулярно прямой

Ответ: 3х+Ву+С=0, где В=…, С=…

18. Найти (в градусах) угол между плоскостью y=z и прямой

19. Найти (в градусах) угол между векторами и , где и - единичные векторы, образующие угол 120о.

20. Найти (с точностью до 0,1) проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

21. Выяснить, при каком значении λ векторы ; ; не образуют базис в пространстве .

22. Выяснить, при каком значении λ вектор линейно выражается через векторы и .

23. Векторы и являются собственными векторами матрицы с собственными значениями λ1, λ2 (λ1<λ2) соответственно. Найти λ1, λ2 и значения а и b.

24. Найти наименьшее целое значение λ, при котором будет положительно определенной квадратичной форма .