Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 7 )

направлена к положению равновесия и пропорциональна удлинению пружины.

Пусть также со стороны внешней среды на частицу действует сила трения, пропорциональная скорости и противоположная ей по направлению:

, .

Найдем закон движения частицы. На основании основного закона динамики:

,

.

Далее производную по времени мы будем обозначать точкой:

, .

Введем обозначения: , , . Закон движения примет вид

.

(1.28)

Неоднородное уравнение (1.28) называется уравнением вынужденных колебаний. Соответствующее однородное уравнение

(1.29)

называется уравнением свободных колебаний. Движение частицы определяется типом корней характеристического уравнения

,

,

которые, в свою очередь, зависят от соотношения массы частицы, силы трения и упругости пружины.

Пусть . Тогда характеристическое уравнения имеет два действительных различных отрицательных корня. Общее решение уравнения свободных колебаний:

;

отклонение монотонно уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю. Если , то характеристическое уравнение имеет один двукратный отрицательный корень . Общее решение:

Отклонение также асимптотически стремится к нулю.

Пусть сила сопротивления отсутствует. Тогда характеристическое уравнение

имеет пару мнимых корней . Закон движения принимает вид

,

или

,

где амплитуда A и начальная фаза равны

,

Пусть , (сила сопротивления незначительна). В этом случае характеристическое уравнение также имеет мнимые корни; обозначая

,

получим

,

.

Последнее уравнение описывает затухающие колебания.

Обратимся к неоднородному уравнению вынужденных колебаний. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

.

Уравнение принимает вид

.

(1.30)

Если трение невелико (, ), то общее решение этого уравнения

.

Первое слагаемое при стремится к нулю (по истечении достаточно большого промежутка времени свободными колебаниями на собственной частоте можно пренебречь). Второе слагаемое xr описывает вынужденные колебания. Частота w этих колебаний совпадает с частотой w вынуждающей силы.

Амплитуда A* вынужденных колебаний возрастает с уменьшением трения. Считая амплитуду функцией частоты вынуждающей силы, исследуем ее на экстремум. После всех преобразований:

, при .

Если трение мало, то правая часть последнего равенства близка к единице, и максимальное значение амплитуды достигается при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой свободных колебаний. Указанный случай соответствует явлению резонанса: через некоторый промежуток времени амплитуда колебаний частицы возрастает до значений, значительно превышающих амплитуду вынуждающей силы.

1.14.  Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Системой дифференциальных уравнений называется система

, ,

в каждое из n уравнений которой входят независимая переменная t, искомые функции , и их производные. Независимую переменную в большинстве задач удобно понимать как время; в этом случае производные можно обозначать точками.

Решением системы дифференциальных уравнений называется векторная функция скалярного аргумента (упорядоченный набор из n функций), при подстановке которой в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество. Общее решение системы включает n постоянных интегрирования:

, ,

Частное решение может быть получено из общего решения и системы из n начальных условий.

Нормальной, или динамической системой уравнений называется система, каждое из уравнений которой разрешено относительно производной, причем правые части не содержат производных:

,

или

, ,

(1.31)

где .

Нормальную систему можно записать в виде одного векторного уравнения

,

где .

Автономной нормальной системой называется нормальная система, правая часть которой не содержит времени:

, .

Если функции в правой части системы непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности точки , то существует единственная система функций , которая является решением системы (1.31) и удовлетворяет начальным условиям

, .

(1.32)

Начальное условие можно записать в векторной форме:

.

Решение определяет линию в n-мерном пространстве. Это пространство называют фазовым пространством, а линию называют фазовой траекторией.

1.15.  Преобразование системы к уравнению высшего порядка

Систему дифференциальных уравнений можно заменить одним уравнением, порядок которого равен числу уравнений исходной системы. Для этого следует из уравнений системы и уравнений, полученных из них дифференцированием, исключить все неизвестные функции, кроме одной. Для определения последней будет получено уравнение высшего порядка. После нахождения этой функции остальные, по возможности без интегрирования, находятся из уравнений системы и уравнений, полученных в результате их дифференцирования.

Пусть, например, требуется решить систему

.

Дифференцируя первое уравнение системы, получим . Выражая производную и подставляя ее во второе уравнение, получим однородное линейное уравнение второго порядка относительно одной функции: