Применение производной и интеграла (стр. 7 )

; ; .

Ответ:

Задание 13

Точка движется по закону , где х – время, у - путь точки. Найти скорость ускорения точки, экстремумы данной функции.

Решение 1. Областью существования функции является интервал .Находим скорость, точка: .Решаем уравнение или . Разлагаем левую часть на множители: откуда или .Производная непрерывна при любом ч. Поэтому только эти точки будут критическими. Располагаем критические точка в порядке возрастания их абсцисс:-1;0;3. Рассмотрим интервалы . Выберем внутри каждого их этих интервалов произвольную точку и определим этой точке знак первой производной. В интервале возьмем, например точку х=-2 и найдем . В интервале возьмем точку , тогда ; в интервале возьмем точку х=1,тогда .В интервале возьмем точку х=4 и получим .Строим таблицу поведения функции, находим max и min.

x		-1		0		3
y'	-	0	+	0	-	0	+
y		min		max		min

Найдем экстремальные значения функции ; ; . Ускорение точки:

.

Ответ: ;2; .

Решение 2. Исследуем функцию на экстремум по второй производной .Определяем знак второй производной в каждой критической точке. ,при х=-1 функция имеет минимум ,при х=0 функция имеет максимум; ,при х=3 функция имеет минимум и т. д. как в решении1.Исследования по второму решению проще, однако, от исследования функции на экстремум по первому решению отказываться не следует, т. к. может оказаться, что в критической точке вторая производная окажется равной нулю, а в этом случае нельзя сделать никакого заключения о наличии экстремума.

Ответ: ;2; .

Задание 14

Определить экстремумы функции .Найти ее наименьшее и наибольшее значение на отрезке .

Решение 1

Областью существования функции является интервал . Находим первую производную функции ее критические точка . Решим уравнение , . .Производная конечна при любом значении ч, поэтому ч=1 является единственной критической точкой. Рассмотрим интервалы и .Внутри каждого из этих интервалом выберем произвольную точку и определим в ней знак первой производной, например, в первом интервале возьмем точку х=0, во втором, х=2. ; ,т. е. при переходе через критическую точку первая производная знака не поменяла, поэтому в точке х=1 экстремума нет. По второй производной такое исследование провести нельзя. Действительно, ,и в критической точке х=1 имеем .Поскольку отрезок не содержит критической точки, то для определения наименьшего и наибольшего значения функции на этом отрезке следует определить только значения ее на концах отрезка: . Наименьшего значения на отрезке функция достигает на левом конце при х=2 и это наименьшее значение . Наибольшего значения функция достигает при х=5-на правом конце отрезка; это значение .

Ответ: 4;67.

Решение 2

Первую производную можно записать в виде ,поэтому можно сказу заключить, что в поле действительных чисел она положительна при любом значении ,поэтому рассматриваемая функция возрастает на всем интервале ,и т. д. как в решении 1. Ответ: 4;67

Задание 15

Найти одну из первообразных для функции на R.

Решение 1. имеем:

Ответ: х

Решение 2.Имеем

Ответ: х

Задание 16

Найти интеграл .

Решение 1. ,где с – произвольная постоянная.

Ответ:

Решение 2.

Первообразными для функций и является, например, функции и . Поэтому функции является первообразной для функции .Следовательно, ,где с – произвольная постоянная.

Ответ:

Тест для самоконтроля

1. В какой из точек A.  1;  B.  10;  C.  20;  D.  100;  E.   наиболее быстро растёт функция ?

2. Мяч брошен вертикально вверх. Если ось х направлена вверх, то закон движения мяча  A. Опускается или поднимается мяч в момент времени  с?

3.   Материальная точка движется по закону . Какова наибольшая скорость движения?