УДК 534.833
ВЛИЯНИЕ СИЛ ТРЕНИЯ В КОНТАКТАХ ЗАМКА ТИПА “ЛАСТОЧКИН ХВОСТ” НА ВИБРАЦИИ ЛОПАТКИ КОМПРЕССОРА
М. И.,
Самарский аэрокосмический университет, г. Самара
Для теоретического исследования распределения усилий по элементам замка и демпфирования вибраций лопатки компрессора силами трения в замке “ласточкиного” типа, была создана дискретная модель лопатки вместе с замком. Центробежная сила, действующая на лопатку, в условиях вращения диска имитировалась статической силой натяжения ее за перо. Переменная сила от газового потока имитировалась импульсным возбуждением по высоте пера лопатки синусоидального характера. Общий вывод получается такой, что при увеличении коэффициента трения в контактах замка и центробежной силы на перо лопатки амплитуда вибраций лопатки может, как увеличиваться, так и уменьшаться. Отсюда следуют необходимость всегда конкретно учитывать влияния сил трения в замках на динамику лопаток и учитывать их в практике конструирования и технологии изготовления лопаток подобного типа.
Целью настоящего исследования является: разработать методику, алгоритм и программу расчета замка типа “ласточкин хвост” лопатки компрессора с учетом сил трения в контактах замка и исследовать их влияние на динамику самой лопатки; выяснить (оценка) влияние параметров конструктивных элементов замка и самой лопатки (размеры, углы контакта и т. д.) на вибрации лопатки; выяснить (оценка) влияние сил трения в контактах замка на вибродемпфирование при колебаниях по различным собственным частотам и формам упругой системы элементов замка с лопаткой; оценить работу и мощность сил трения в контактах замка при колебаниях упругой системы замка с лопаткой; разработать методику расчета замка лопатки компрессора на износостойкость в условиях вибраций ее как упругой системы вместе с элементами замка и др.
При исследовании данной проблемы сделано ряд упрощающих допущений: перо лопатки - рис.1 принято в форме пластины постоянной по всей высоте толщины; упругая модель лопатки вместе с замком принята дискретной в форме сосредоточенных масс; перо лопатки разбито на три элементарных массы, упруго связанных между собой; замок принят одномассовым элементом, упруго связанным как с сопряженными элементами замка диска компрессора, так и с прилежащим участком пера лопатки; при вибрациях такой упругой модели лопатки в контактах замка вследствие упругого скольжения (проскальзывание) возникают силы трения, направленные против скоростей скольжения - рис. 2; зависимости сил трения от давлений и скоростей скольжения могут приниматься по любому закону, но в данном исследовании они принимались по закону Кулона в режиме сухого трения, (коэффициенты трения не зависят ни от удельных давлений, ни от скоростей скольжения); движение всех элементов упругой модели принято плоским в плоскости вращения диска компрессора; каждая элементарная масса упругой модели имеет три степени свободы в декартовой системе координат - поступательное вдоль радиуса диска, поступательное в окружном направлении и вращательное относительно собственного центра массы; вибрации элементов упругой модели лопатки вместе с замком рассматриваются относительно равновесного квазистатического) положения ее в поле центробежных сил при равномерном вращении вместе с диском; элементы упругой модели лопатки с замком нагружаются статическими усилиями вдоль ее оси, имитирующими действие центробежных сил; можно имитировать действие статических газовых сил по любому закону вдоль пера лопатки; возбуждение элементов лопатки производится окружными усилиями пульсирующего характера по закону полуволны синуса одного (положительного) знака заданной частоты (имитируется возбуждение от лопаток направляющего аппарата).
Математическая модель упругой системы лопатки компрессора вместе с замком представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений движения ее элементов с учетом скачкообразных изменений направлений сил трений в контактах замка во время вибраций лопатки. Решения систем уравнений производятся численно методом Рунге - Кутта четвертого порядка на ПЕВМ.
Система уравнений следующая.
Независимые переменные:
Первый элемент - замок (около пера лопатки)
Смещения - X O; Y O; φ O.
Скорости смещений-VX O = do O /d t ; VY O = dY O / dot ; ω O = dφ O / dt.
Первый участок пера лопатки
Смещения - X 1 ; Y 1 ; φ 1 .
Скорости смещений-VX 1 = dX 1 /d t ; VY 1 = dY 1 / dt ; ω 1 = d φ 1 / dt.
Второй участок пера лопатки
Смещения - X 2 ; Y 2 ; φ 2 .
Скорости смещений-VX 2 = dX 2 / d t ; VY 2 = dY 2 / dt ; ω 2 = d φ 2 / dt.
Третий участок пера лопатки
Смещения - X 3;Y 3;φ 3.
Скорости смещений-V X 3= dX 3 /d t ; V Y 3= dY 3 / dt ; ω 3= d φ 3 / dt.
Нормальные упругие силы в контактах замка.
F 1 0 = C 1 0 · ( - X 0 · cos α + Y 0 · sin α + φ 0 · l H O · sin ( β 0 + α );
F 2 0 = C 2 0 · ( +X 0 · cos α + Y 0 · sin α - φ 0 · l H O · sin ( β 0 + α );
F 3 0 = C 3 0 · ( +X 0 · cos α + Y 0 · sin α - φ 0 · l B O · sin ( γ 0 + α );
F 4 0 = C 240 · ( - X 0 · cos α + Y 0 · sin α + φ 0 · l B O · sin ( γ 0 + α );
Проекции нормальных усилий в контактах замка на координатные оси и изгибающие моменты относительно центров массы элемента замка .
F X O = ( F 1 0 – F 2 0 - F 3 0 + F 4 0 ) · cos α;
F Y O = - ( F 1 0 + F 2 0 + F 3 0 + F 4 0 ) · sin α;
M Z 0 = (-F 1 0+F 2 0 )· l H O· sin (β 0+ α) +(F 3 0 –F 4 0) · l B O · sin (γ 0 +α );
Здесь - C 1 0 ; C 2 0 ; C 3 0 ; C 4 0 ; - нормальные жесткости в контактах замка;
относительно оси OZ.
Скорости скольжения в контактах замка.
V 1 0 = - V X 0 · sin α - V Y 0 · cos α - ω 0 · l H O · sin ( β 0 + α );
V 2 0 = - V X 0 · sin α + V Y 0 · cos α - ω 0 · l H O · sin ( β 0 + α );
V 3 0 = - V X 0 · sin α + V Y 0 · cos α - ω 0 · l B O · sin ( γ 0 + α );
V 4 0 = - V X 0 · sin α - V Y 0 · cos α - ω 0 · l B O · sin ( γ 0 + α );
Силы трения в контактах замка
F f 1 0 = f · F 1 0 · V 1 0 · [V 1 0 ]; F f 2 0 = f · F 2 0 · V 2 0 · [V 2 0 ];
F f 3 0 = f · F 3 0 · V 3 0 · [V 3 0 ]; F f 4 0 = f · F 4 0 · V 4 0 · [V 4 0 ];
Здесь f – коэффициент трения в контактах зубцов.
Упругие связи между элементами пера лопатки с замком.
F X O = - 6 · ( E·J1 / l 12) · φ o - 6· ( E·J1 / l 12) · φ 1 – 12 · ( E·J1 / l 13) · X o + 12· ( E·J1 / l 13) · X 2 – 12 · ( E·J1 / l 13) · h H O · φ o;
F Y O = (( E · F 1 ) / l 1) · Y 1 – (( E · F 1 ) / l 1) · Y O;
M Z O = - 4 · ( E · J 1 / l 1 ) · φ o - 2 · ( E · J 1 / l 1 ) · φ 1 - 6 · ( E · J 1 / l 12 ) X o + 6 · ( E · J 1 / l 12 ) · X 1 - 6 · ( E · J 1 / l 12 ) · h H O · φ o;
Здесь h H O - расстояние от нижней кромки элемента замка до центра массы его - рис.2.
Первая масса пера лопатки (около замка)
F X 1 = 6 · ( E·J1 / l 12) · φ o + 6· ( E·J1 / l 12) · φ 1 + 12 · ( E·J1 / l 13) · X o - 6 · ( E·J2 / l 22) · φ 1 + 6· ( E·J2 / l 22) · φ 2 + 12 · ( E·J2 / l 23) · X 1 + 12· ( E·J2 / l 23) · X 2 + 12 · ( E·J1 / l 13) · h H O · φ o;
F Y 1 = (( E · F 2 ) / l 2) · Y 2 – (( E · F 2 ) / l 2) · Y 1 - (( E · F 1 ) / l 1) · Y 1 + (( E · F 1 ) / l 1) · Y O;
M Z 1 = - 2 · ( E · J 1 / l 1 ) · φ o - 4 · ( E · J 1 / l 1 ) · φ 1 - 6 · ( E · J 1 / l 12 ) X o + 6 · ( E · J 1 / l 12 ) · X 1 - 6 · ( E · J 1 / l 12 ) · h H O · φ o - 4 · ( E · J 2 / l 2 ) · φ o -2 · ( E · J 2 / l 2 ) · φ 2 - 6 · ( E · J 2 / l 22 ) X 1+ 6 ·( E · J 2 / l 22 ) · X 2;
Вторая масса пера лопатки (средняя)
F X 2 = 6 · ( E·J2 / l 22) · φ 1 + 6· ( E·J2 / l 22) · φ 2 + 12 · ( E·J2 / l 23) · X 1 - 6 · ( E·J2 / l 22) ·φ 2 6· ( E·J3 / l 32) · φ 3 - 12 · ( E·J3 / l 33) · X 3 +2· ( E·J3 / l 33)·X 3 ;
F Y 2 = (( E · F 2 ) / l 2) · Y 1 – (( E · F 2 ) / l 2) · Y 2 - (( E · F 3 ) / l 3) · Y2 + (( E · F 3 ) / l 3) · Y 3;
M Z 2 = - 2 · ( E · J 2 / l 2 ) · φ 1 - 4 · ( E · J 2 / l 2 ) · φ 2 - 6 · ( E · J 2 / l 22 ) X 1 + 6 · ( E · J 2 / l 22 ) · X 2 - 4 · ( E · J 3 / l 3 ) · φ 2 -2 · ( E · J 3 / l 3 ) · φ 3 - 6 · ( E · J 3 / l 32 ) X 2+ 6 ·( E · J 3 / l 32 ) · X 3;
Третья масса пера лопатки (хвостовик)
F X 3 = 6 · ( E·J3 / l 32) · φ 2 + 6· ( E·J3 / l 32) · φ 3 + 12 · ( E·J3 / l 33) · X 2 + 12 · ( E·J3 / l 33) · X 2 - 12· ( E·J3 / l 33) · X 3 ;
F Y 3 = (( E · F 3 ) / l 3) · Y2 - (( E · F 3 ) / l 3) · Y 3;
M Z 2 = - 2 · ( E · J 3 / l 3 ) · φ 2 - 4 · ( E · J 3 / l 3 ) · φ 3 - 6 · ( E · J 3 / l 32 ) X 2 + 6 · ( E · J 3 / l 32 ) · X 3;
Здесь J i ; F i ; l i– соответственно геометрические моменты инерции, площади поперечных сечений и длины участков пера лопатки.
Проекции сил трения в контактах замка на координатные оси элементов замка.
F f X o = (F f 1 o + F f 2 o + F f 3 o + F f 4 o ) · sin α;
F f Y o = (F f 1 o - F f 2 o - F f 3 o + F f 4 o ) · cos α;
M f z o = (F f 1 o +F f 2 o) · l HO · cos( β 0 +α) +(F f 3 o+F f 4 o)·l BO· sin (γ 0+α );
Дифференциальные уравнения движения элементов лопатки турбины с учетом сил трения в контактах замка.
Первый (0) элемент замка (около пера лопатки):
m O· d 2X O / d t 2 = F X CTO +F X A O +F X O +F f X O –λ O· V X O;
m O· d 2Y O / d t 2 = GO+FYCTO +F Y A O +F Y O +F f Y O–λ O· V Y O ;
J O· d 2 φ O / d t 2 = M ZOCT+M Z A O +M Z O +M f Z O + F X O· h OH -λ O· ω O ;
Элемент (1) пера лопатки около замка
m 1· d 2X 1 / d t 2 = F X CT1 +F X A 1 + F X 1 –λ 1 · V X 1;
m 1· d 2Y 1 / d t 2 = G 1 + F YCT1 + F Y A 1 + F Y 1 – λ 1 · V Y 1;
J 1 · d 2 φ 1 / d t 2 = M Z CT 1 + M Z A 1 + M X 1 - λ 1 · ω 1;
Элемент (2) пера лопатки (средний)
m 2· d 2X 2 / d t 2 = F X CT2 +F X A 2 + F X 2 –λ 2 · V X 2;
m 2· d 2Y 2 / d t 2 = G 2 + F YCT2 + F Y A 2 + F Y 2– λ 2 · V Y 2;
J 2 · d 2 φ 2 / d t 2 = M Z CT 2 + M Z A 2 + M X 2 - λ 2 · ω 2;
Элемент (3) пера лопатки (хвостовик)
m 3· d 2X 3 / d t 2 = F X CT3 +F X A 3 + F X 3 –λ 3 · V X 3;
m 3· d 2Y 3 / d t 2 = G 3 + F YCT3 + F Y A 3 + F Y 3 – λ 3 · V Y 3;J 3 · d 2 φ 3 / d t 2 = M Z CT 3 + M Z A 3 + M X 3 - λ 3 · ω 3;ЗдесьF XCTi ; F YCTi ; M ZCTi– статические составляющие усилий на элементы лопатки;
F XAi ; F YAi ; M ZAi - амплитуды переменных составляющих усилий на элементы лопатки;
Gi – веса элементов лопатки. Эта система дифференциальных уравнений решается численно методом Рунге-Кутта четвертого порядка на компьюторе 3 + M X 3 - λ 3 · ω 3;ЗдесьF XCTi ; F YCTi ; M ZCTi– статические составляющие усилий на элементы лопатки;
F XAi ; F YAi ; M ZAi - амплитуды переменных составляющих усилий на элементы лопатки;
Gi – веса элементов лопатки.
Эта система дифференциальных уравнений решается численно методом Рунге-Кутта четвертого порядка на ПЕВМ.
На рис.4…11 приведены некоторые результаты расчета лопатки с геометрическими параметрами по рис.3. Жесткости всех элементов замка приняты C=80 000 кг/см; суммарная центробежная сила на всю лопатку (статическая сила) F cm = 1000 кг; амплитуда переменной силы пульсирующего характера по синусоидальному закону F А = 1 кг; значение коэффициента вязкого демпфирования λ=0,0005 .
На рис.4. показаны величина и характер изменения сил трения в контактах замка типа” ласточкин хвост” лопатки компрессора на резонансной частоте вращения по первой изгибной форме лопатки-128.8 Гц, что соответствует частоте вращения ротора при одном возбуждении за оборот - 7730 об/мин. Коэффициент трения в контактах замка - f=0.1. Видно, что силы трения, вседствии изгибной форме лопатки-128.8 Гц, что соответствует частоте вращения ротора при одном возбуждении за оборот - 7730 об/мин. Коэффициент трения в контактах замка - f=0.1. Видно, что силы трения, вседствии скачкообразного (нелинейного) изменения своего направления в контактах при действии усилия на лопатку изменяются регулярно, а в промежутках, когда возбуждающая сила не действует, силы трения изменяются с собственной частотой высокочастотных колебаний лопатки (замок лопатка ‘скрипит’, ”зудит’, как это бывает в несмазанных петлицах двери).
На рис.5. показаны величина и характер изменения сил трения в контактах замка типа” ласточкин хвост” лопатки компрессора при резонансной частоте вращения по второй изгибной форме лопатки-787,5 Гц, что соответствует частоте вращения ротора при одном возбуждении за оборот - 47350 об/мин. Коэффициент трения в контактах замка - f=0.1. В этом случае силы трения как в период нагружения так и в период отсутствия нагрузки изменяются с собственной частотой высокочастотных колебаний лопатки (замок лопатка ‘скрипит’, ”зудит’, как это бывает в несмазанных петлицах двери), хотя по величине усилия такие же как и в предыдущем случае при частоте возбуждения -128,8 Гц.
На рис.6. показано изменение переменных изгибных напряжений в лопатке компрессора с замком типа” ласточкин хвост” при импульсном возбуждении силой 1 кг синусоидального характера по перу лопатки на резонансной частоте вращения по первой изгибной форме лопатки-128,8 Гц, что соответствует частоте вращения ротора при одном возбуждении за оборот - 7730 об/мин. Коэффициент трения в контактах замка замка - f=0.1. А на рис.7.- осевые перемещения (вдоль пера) элементов упругой модели лопатки при таких же условиях нагружения. Как видно, при возбуждении лопатки газовыми силами в окружном направлении, лопатка колеблется в осевом направлении вследствие поворота замка при вибрациях.
На рис 8. показано изменение величины и характера изгибных напряжений в лопатке компрессора в сопряжении с замком типа ” ласточкин хвост” при импульсном возбуждении силой 1 кг синусоидального характера по перу лопатки на резонансной частоте вращения по второй изгибной форме лопатки, что соответствует частоте вращения ротора при одном возбуждении за оборот - 47250 об/мин. Коэффициент трения в контактах замка - f=0.1. Ну, во-первых, величина напряжения на порядки меньше, чем при возбуждении по первой изгибной форме (рис. 6.), а во-вторых, характер изменения самих напряжений совершенно другой - на частоту возбуждения накладываются высокочастотные напряжения от вибраций самого замка с собственной частотой, вызываемыми силами трения, что похоже на автоколебания.
Для сравнения на рис.9 приведены результаты расчета изгибных напряжений для такого же случая, что и на рис. 8, но только без учета сил трения в контактах замка. Видно, что при отсутствии сил трения
в контактах замка лопатки высокочастотные колебания в пере лопатки не возникают и величин самих напряжения несколько меньше, чем при наличии трения в контактах замка. На рис. 10 и 11 представлены результаты обобщенны исследований по влиянию сил
На рис. 10 и 11 представлены результаты обобщенны исследований по влиянию сил трения на работоспособность лопаток компрессора с замком типа “ласточкин хвост” при тех же параметрах, что изложено выше, и при конкретной частоте вращения ротора, соответствующей резонансу лопатки по первой изгибной форме-128,8 Гц.
На рис.10 показано изменение изгибных напряжений у корня лопатки в зависимости от коэффициента трения в контактах замка - f и от величины статической (от центробежной силы) нагрузки на элементы лопатки-Fcm, которая выражена коэффициентом увеличения ее по отношению к номинальному значению-F cm ном - K=F cm / F cm ном. (Напомним, что F ст ном =1000 кг.) Видно, что для каждого значения статической нагрузки существует свой диапазон коэффициентов трения, при которых лопатка резонирует с минимальными напряжениями, причем, чем больше статическая нагрузка тем при меньших значениях коэффициентов трения наступает этот оптимальный режим. Но при превышении этих значений вибрации лопатки снова становятся неустойчивыми и 
изгибные напряжения в ней повышаются и часто в форме биений.
На рис. 11 показан характер изменения изгибных напряжения у корня лопатки в зависимости от статической (центробежной) нагрузки при различных значениях коэффициентов трения в контактах замка-f. Видно, что чем меньше коэффициента трения, тем больше изгибные напряжения и шире диапазон статических нагрузок при которых лопатка неустойчивая. При больших значениях коэффициентов трения в контактах замка оптимальный режим по напряжениям в лопатке наступает при меньших значениях статической (центробежной) нагрузки после увеличения которой снова начинается неустойчивый режим работы лопатки с большими напряжениями по характеру биений. При малых статических (центробежных) нагрузках лопатка работает неустойчиво с очень большими напряжениями по характеру биений
Предварительные результаты исследований: 1. Силы трения в контактах зубцов елочного замка решающим образом влияют на напряженность лопатки в условиях резонансов ее в узле. 2. Демпфирование вибраций лопатки силами трения в контактах замка сильно зависит от собственных форм колебаний лопатки совместно ; возможны формы при которых демпфирование минимально. 3. Для каждого значения коэффициента трения имеется вполне определенный диапазон статических (центробежных) нагрузок при которых лопатка работает оптимально устойчиво с 
минимальными напряжениями, имеется ярко выраженный оптимум по устойчивости. При этом, чем меньше значение коэффициента трения, тем шире диапазон статической нагрузки по неустойчивости. 4. Замечено, что оптимуму устойчивости лопатки при любых значениях коэффициентов трения в контактах зубцов замка соответствует одинаковое значение мощности трения, при превышении или уменьшении которого
амплитуда вибраций лопатки при резонансе увеличивается. 5. В рассмотренном случае чем меньше уровень статической нагрузки, тем больше амплитуда вибраций лопатки при резонансе, но зато несколько меньше при оптимальном режиме работы. шире диапазон коэффициентов трения при которых лопатка неустойчива, и наоборот, чем больше значение статической нагрузки, тем меньше амплитуда вибраций, но при меньших значениях коэффициентов трения и при меньшем их диапазоне.
