О цифровой фильтрации линейных искажений сигнала

О ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ СИГНАЛА1

2, 2, 3

2Институт автоматики и электрометрии СО РАН,

630090, Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 1, [e-mail], [e-mail]

В работе рассматривается компенсация линейных искажений сигнала при его равномерной дискретизации. Компенсация основана на использовании рядов Фурье.

Введение

При прохождении сигнала через искажающий предфильтр спектр входного сигнала и спектр выхода предфильтра связаны известным соотношением

(1)

где — спектр сигнала на выходе предфильтра с частотной характеристикой , — спектр входного сигнала.

Очевидным, но не всегда реализуемым алгоритмом компенсации искажений является пропускание выходного сигнала предфильтра через компенсирующий предфильтр с частотной характеристикой

. (2)

При равномерной дискретизации сигнала по времени простейшим вариантом использования соотношения (2) является его реализация на наборе частот ряда Фурье, содержащем конечное число слагаемых.

В дальнейшем рассматривается компенсация линейных искажений при использовании рассмотренного в [1] гармонического ряда с ортогональными базисными функциями и (Δ — шаг дискретизации сигнала по времени, 2N+1 — число слагаемых гармонического ряда).

Отсчетные функции компенсирующего фильтра

Используя комплексную форму гармонического ряда, несложно показать, что при применении этого базиса оценка компенсированного сигнала

(3)

В (3) — искаженные предфильтром отсчеты искомого сигнала ,

,

(4)

— частоты базисных функций, множитель при отсчете сигнала

(5)

— отсчетная функция.

Если представить предфильтр в виде:

, (6)

то отсчетная функция

(7)

При использовании базисных функций и соотношение (7) приводится к виду

(8)

Дисперсия ошибки реконструкции сигнала

Рассмотрим дисперсию ошибки воспроизведения сигнала при использовании соотношения (8). Положим для простоты сигнал стационарным случайным процессом со спектральной плотностью . Тогда дисперсия ошибки реконструкции значения сигнала с абсциссой t

(9)

Если провести в формуле (9) суммирование по индексу n, т. е. вычислить дискретное преобразование Фурье, то получим следующий результат:

(10)

В формуле (10) частоты и определяются соотношением (4), а функции

(11)

обладают очень важным свойством: они равны единице на частотах и и равны нулю на всех остальных частотах из (4). Если частотная характеристика предфильтра ограничена по модулю и не равна нулю в диапазоне частот сигнала с ограниченным спектром , то при возрастании длины фильтра величина дисперсии ошибки уменьшается. В пределе при дисперсия ошибки становится равной нулю.

Если рассматривать дисперсию ошибки только на исходном массиве , то

(12)

Среднее значение этой величины на отсчетах массива

(13)

Компенсационный КИХ-фильтр

В предыдущем разделе рассматривалась дисперсия ошибки реконструкции сигнала на интервале и ее среднее значение на этом интервале. При дискретном представлении сигнала и значении параметра m, равном нулю, величина этой дисперсии минимальна:*)

(14)

Величина в этом соотношении при

(15)

Из формулы для отсчетной функции компенсирующего фильтра следует, что соотношению (15) соответствует отсчетная функция

. (16)

При этом константы .

Моделирование алгоритмов обработки сигнала

Моделирование осуществлялось для случайного сигнала (алгоритм (16)). Моделирование сигнала случайной структуры осуществлялось следующим образом. Последовательность независимых случайных величин превращалась в последовательность зависимых величин после ее пропускания через фильтр нижних частот с весовой функцией, определяемой формулой [2]:

(17)

(18)

Затем из нее строились две последовательности. Первая из них соответствовала “желаемому” сигналу:

(19)

Вторая последовательность соответствовала соотношению

(20)

Далее по значениям последовательности восстанавливались значения последовательности . При этом очевидно соотношение для коэффициентов :

(21)

Последовательности , , и разность между последовательностями и изображены на Рис. 1. Из Рис. 2 следует, что с увеличением длины “обратного” фильтра средний квадрат разности убывает.

Рис. 1. а) фрагмент случайного сигнала, пропущенного через предфильтр; б) фрагмент “желаемого” сигнала; в) фрагмент “наблюдаемого” сигнала; г) разность между “желаемым” и “наблюдаемым” сигналами.

Рис.2. Логарифмическая зависимость среднего квадрата разности между “желаемым” и реконструированным сигналами.

Заключение

Проанализированы характеристики фильтров, основанных на рядах Фурье и компенсирующих линейные искажения сигнала при его равномерной дискретизации. Получены соотношения для отсчетных функций и формулы для дисперсии ошибки при обработке стационарного случайного сигнала. Выполнено моделирование, подтверждающее аналитические результаты.

Список литературы.

1.  , , . Возможность повышения точности синусно-косинусного преобразования при аппроксимации и интерполяции сигнала. Автометрия, 2007.

2.  , . Определение параметров фильтра с конечно-импульсной характеристикой при ограничениях на значения его частотной характеристики. Автометрия, 2000, №4, с 3-13.

*) Соотношения (14), (12) и (9) позволяют определить оптимальные параметры цифрового фильтра при априори известной спектральной плотности сигнала .