Лекция 6 Потенциальные силовые поля

Нелинейные колебания

1. Собственные колебания системы могут быть как гармоническими, так и негармоническими. Если отклонение частицы от положения равновесия мало, но конечно, то в ряде (17.1) необходимо учесть также член порядка . в этом случае уравнение движения частицы представим в следующем виде:

(17.16)

Где

(17.17)

. (17.18)

Колебания, описываемые уравнениями, содержащими члены второго и более высокого порядка отклонения от положения равновесия, называются нелинейными. Система, совершающая нелинейные колебания называется нелинейным или ангармоническим осциллятором. Заметим, что исследование движения нелинейного осциллятора (17.16) сводится к задаче движения частицы во внешнем поле с потенциалом (17.17).

В зависимости от величины параметра ε в (17.17) в области малых колебаний отклонение функции от параболической будет разной. Вид этой функции в общем случае представлен на рис. 17.2. Она становится равной нулю в точке и имеет максимум

Рис.17.2

, (17.19)

в точке . Пользуясь результатом, полученным для движения частицы в потенциальном силовом поле, мы можем сказать, что частица с энергией будет совершать финитное движение, если . Причем заметим, что в общем случае отклонения частицы от положения равновесия и в разные стороны различны. Эта разница связана с видом потенциала и величины полной энергии частицы.

2. Закон движения нелинейного осциллятора при произвольных значениях выражается сложными специальными функциями. Однако, при малых значениях , когда достаточно велико, в области (для малых энергий ) нелинейный член в уравнении движения частицы можно считать малым возмущением и воспользоваться теорией возмущений.

Пользуясь (17.5) и (17.17), представим уравнение (17.16) в следующем виде:

(17.20)

Движение осциллятора в случае дается гармоническим законом

(17.21)

и представляет невозмущенное движение. Если , то будем рассматривать правую часть (17.20) как возмущение для основного движения (17.21) и представим закон движения частицы в виде

, (17.22)

где предполагается, что и представляет отклонение движения частицы от гармонического закона.

Подставляя (17.22) в (17.20) для получим следующее уравнение

в которой последние два члена правой части, благодаря условию , можно пренебречь по сравнению с первым членом. Представим это уравнение следующим образом:

(17.23)

а его решение – в виде

, (17.24)

где и – постоянные величины. Подставляя (17.24) в (17.23) и приравнивая коэффициенты перед и свободными членами в правой и левой частях полученного соотношения, получим

(17.25)

Итак, для нелинейных колебаний получим следующее уравнение движения:

(17.26)

В полученном решении постоянное слагаемое и приводит к указанному выше отличию максимального отклонения частицы относительно оси X в положительную и отрицательную стороны. Наиболее важная особенность закона нелинейных колебаний (17.26) заключается в появлении колебаний с частотой . Это движение представлено членом, содержащим , который называется второй гармоникой. Оказывается, что учет членов и более высокого порядка в (17.20) приводит к появлению в (17.26) дополнительных движений с частотами и т. д. Таким образом, нелинейность приводит появлению гармоник более высокого порядка в колебаниях. Это, пожалуй, наиболее существенная характеристика нелинейности.

Физический и математический маятники

1. Твердое тело, совершающее колебания вокруг оси, не проходящей через центр инерции, называется физическим маятником (рис.17.3). Точка пересечения горизонтальной оси с вертикальной плоскостью, проходящей через центр инерции маятника, называется точкой подвеса маятника (А). Положение маятника в произвольный момент времени можно охарактеризовать углом φ отклонения оси АС маятника от положения равновесия (рис. 17.3).

Рис. 17.3

Уравнение моментов относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса А физического маятника, имеет следующий вид:

(17.27)

где – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку А, – расстояние от центра инерции С от точки подвеса. Знак минус показывает, что момент силы тяжести вызывает вращение обратное направлению возрастания угла отклонения .

Разложив в ряд согласно (17.1) и ограничиваясь линейным членом этого разложения, представим (17.27) в виде

(17.28)

где

. (17.29)

Значит, невозмущенное движение физического маятника является гармоническим колебанием с периодом

. (17.30)

Пользуясь теоремой Штейнера

,

для периода колебаний физического маятника находим

. (17.31)

Все приведенные рассуждения верны также в том случае, если мы имеем материальную точку, подвешенную к точке нитью длиной . Подобная система называется математическим маятником, для которой и, следовательно, для ее периода из (17.30) получим

. (17.32)

Сравнение периодов физического и математического маятников показывает, что математический маятник, длина которого равна длине физического маятника, имеет более маленький период, чем физический маятник. Та длина математического маятника, при которой его период равен периоду физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Приравнивая периоды (17.31) и (17.32), получим

. (17.33)

Точка на оси маятника, которая удалена от точки подвеса на расстояние равное приведенной длине физического маятника, называется центром колебаний. Если сконцентрировать массу маятника в его центре колебаний, то период его колебаний не изменится.

Точка подвеса маятника и центр колебаний - сопряженные точки. Это означает, что если подвесить маятник через горизонтальную ось, проходящую через точку , то его период не изменится, причем точка в этом случае будет являться центром колебаний. Докажем это. Обозначим в новом положении расстояние от точки С до точки подвеса через . Для его приведенной длины запишем

. (17.34)

Но и которая, согласно (17.33), равна . Подставляя в (17.34), получим

то есть, . Значит, в новом положении маятник имеет ту же приведенную длину и, следовательно, тот же период. В этом смысле говорят, что физический маятник обратим. Это известно как теорема Гюйгенса. Это свойство физического маятника позволяет экспериментально определять ускорение свободного падения с очень большой точностью.