Экстренные службы

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ

"Высшая математика (линейная алгебра и линейное программирование)"

для студентов 2 курса дневного отделения экономического факультета

(специальность "Менеджмент организаций")

2005-2006 учебный год, 1-й семестр

Преподаватель – доцент

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

1. Экзамен проводится в два этапа. Первый проверяет знание основных понятий и умение применять их на практике (оценка "3"), второй проверяет умение логически рассуждать, проводить доказательства основных результатов, решать задачи, требующие творческого подхода (оценки "4" и "5").

2. Первый этап проводится в виде письменной работы (составленной из вопросов Части 1 и практических примеров "тестового характера") в течение 120 минут (2 астрономических часа). От него освобождаются студенты, получившие положительную оценку по итогам работы в семестре. Для получения оценки "3" необходимо ответить не менее чем на 65% вопросов, вошедших в билет.

3. Ко второму этапу допускаются студенты, сдавшие первую часть и желающие повысить оценку. Второй этап проводится в виде письменной работы в течение 90 минут (1,5 астрономических часа). В работу включаются вопросы из Части 2 и задачи, требующие проведения логических рассуждений с использованием теоретических фактов. В спорных ситуациях будет учитываться оценка, выставленная по итогам работы в семестре.

1-я часть (уровень «3»)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (все без доказательства)

Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка. Частные производные f(x,y) второго порядка и теорема о совпадении смешанных частных производных. Направляющие косинусы, определение производной функции f(x,y) по направлению и теорема о формуле для вычисления такой производной. Градиент функции f(x,y) в точке, его величина и смысл. Определение точек безусловного экстремума функции f(x,y). Стационарные точки. Необходимые и достаточные условия точки безусловного экстремума (формулировки).

7.  Определения внутренней и граничной точек множества, области, границы, ограниченного и замкнутого множества.

Основные понятия линейного программирования: постановка задачи, целевая функция, допустимое решение, область допустимых решений, оптимальное решение. Канонический и стандартный (в том числе симметричный) вид задачи линейного. программирования. Выпуклое множество (геометрическое и аналитическое определения). Угловая точка, выпуклая многогранная область и выпуклый многогранник.. Теорема об области допустимых решений целевой функции и теорема о целевой функции для задачи линейного программирования. Линии уровня и опорные прямые для целевой функции двух переменных в задаче линейного программирования, теорема об изменении целевой функции. Ограниченное и замкнутое множества (определения), основная теорема линейного программирования. Теорема о возможности графического решения задачи линейного программирования n переменных. Основные понятия симплекс-метода: вид задачи, базисное решение, опорное решение, невырожденное решение, базис опорного решения. Два основных утверждения. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи, две леммы. Балансовые и искусственные переменные. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи и признак оптимальности решения. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи и признак несовместности системы ограничений. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи и признак неограниченности целевой функции. Симметричные и несимметричные пары двойственных задач. Симметричные пары двойственных задач, основное неравенство теории двойственности. Симметричные пары двойственных задач, случай неограниченной целевой функции. Симметричные пары двойственных задач, первая теорема двойственности. Симметричные пары двойственных задач, вторая теорема двойственности. Транспортная задача и ее математическая модель. Условие правильного баланса и теорема о разрешимости транспортной задачи. Открытая и закрытая транспортные задачи. Цикл, означенный цикл, сдвиг по циклу. Занятые и свободные клетки, цикл и лемма о цикле. Критерий оптимальности опорного плана транспортной задачи (теорема о потенциалах) Цикл и теорема о свободной клетке Цикл и теорема об опорном решении.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1.Нахождение частных производных 1-го и 2-го порядков.

2. Определение производной по направлению и градиента функции в точке.

3. Нахождение безусловного экстремума функции двух переменных.

4. Нахождение условного экстремума функции двух переменных методом подставновки.

5. Переход от одной задачи линейного программирования к другой.

6. Составление математических моделей, сводящихся к задаче линейного программирования.

7. Графическое решение задач линейного программирования для функции двух переменных для разных областей допустимых решений (с использованием опорных прямых или учитывающее замкнутость и ограниченность области)

8. Решение задач линейного программирования симплекс-методом (построение таблиц, определение опорного плана, проверка опорного плана на оптимальность, выбор разрешающего элемента и переход к новому опорному плану).

9. Применение метода искусственного базиса.

10. Построение задачи, двойственной к исходной (как симметричной, так и несимметричной).

11. Определение оптимального плана одной из двойственных задач по известному оптимальному решению второй с помощью первой или второй теорем двойственности.

12. Построение математической модели транспортной задачи.

13. Построение начального опорного плана транспортной задачи методами северо-западного угла и минимальной стоимости.

14. Проверка опорного плана транспортной задачи на оптимальность методом потенциалов.

15. Переход к новому опорному плану (сдвиг по циклу).

16. Решение закрытой транспортной задачи

2-я часть (уровень «4» и «5»)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка. Частные производные f(x,y) второго порядка и теорема о совпадении смешанных частных производных (формулировка). Сложная функция и теорема о производной сложной функции (формулировка). Направляющие косинусы, определение производной функции f(x,y) по направлению, теорема о формуле для вычисления такой производной (формулировка). Градиент функции в точке и теорема о связи с производной по направлению (доказывать). Необходимое (с доказательством) и достаточное условие экстремума функции двух переменных. Вывод формулы наименьших квадратов для линейной зависимости. Определения внутренней и граничной точек множества, области, границы, ограниченного и замкнутого множества. Выпуклое множество (геометрическое и аналитическое определения). Угловая точка, выпуклая многогранная область и выпуклый многогранник. Линии уровня и опорные прямые для целевой функции двух переменных в задаче линейного программирования, теорема об изменении целевой функции, теорема о возможности графического решения задачи линейного программирования n переменных. Метод искусственного базиса, три основных теоремы (формулировки). Симметричные пары двойственных задач, основное неравенство теории двойственности и две теоремы двойственности (формулировки). Транспортная задача, условие правильного баланса и теорема о разрешимости транспортной задачи.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

1.Нахождение дифференциалов 1-го и 2-го порядков.

2. Определение производной по направлению и градиента функции в точке.

3. Нахождение частных производных сложной функции.

5. Нахождение точек условного экстремума функции двух переменных методом Лагранжа.

6. Составление математических моделей, сводящихся к задаче линейного программирования.

7. Графическое решение задач линейного программирования для функции n переменных (с объяснением возможности)

8. Решение задач линейного программирования методом искусственного базиса.

9. Совместное решение двойственных задач.

10. Решение транспортных задач: открытой и с ограничениями на пропускную способность.