Тема 5. Электрические трехфазные цепи

Тема 5. Электрические трехфазные цепи

5.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ТРЕХФАЗНАЯ СИСТЕМА ЭДС

Трехфазные системы в настоящее время получили наибольшее распространение. На трехфазном токе работают все крупные элек­тростанции и потребители, что связано с рядом преимуществ трех­фазных цепей перед однофазными, важнейшими из которых яв­ляются:

-  экономичность передачи электроэнергии на большие рассто­яния;

-  возможность получения с помощью неподвижных обмоток вращающегося магнитного поля, на чем основана работа синх­ронного и асинхронного двигателей, а также ряда других элект­ротехнических устройств;

-  уравновешенность симметричных трехфазных систем.

Самым надежным и экономичным, удовлетворяющим требо­ваниям промышленного электропривода, является асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором.

Разработка трехфазных цепей была обусловлена требованиями развивающегося производства, а успехам в развитии многофаз­ных систем способствовали открытия в физике электрических и магнитных явлений.

В 80-х гг. XIX в. необходимо было одновременное решение двух сложнейших научно-технических задач: экономичность передачи энергии на дальние расстояния и создание надежного электро­двигателя, удовлетворяющего требованиям промышленного про­изводства.

Важнейшей предпосылкой создания многофазных систем ста­ло открытие в 1888 году явления вращающегося магнитного поля. Первые электрические двигатели были двухфазными. Они имели плохие рабочие характеристики. Наиболее рациональной оказа­лась трехфазная система. В разработку трехфазных систем большой вклад внесли ученые и инженеры разных стран: Н. Тесла, М. Депре, Ч. Бредли, -Добровольский. Наибольшая заслуга принадлежит выдающемуся русскому электротехнику -Добровольскому, сумевшему придать своим трудам практиче­ский характер, создавшему трехфазные асинхронные двигатели, трансформаторы, разработавшему четырехпроводную, трехпроводную цепи и по праву считающемуся основоположником трехфаз­ных систем.

Трехфазные электрические цепи представляют собой частный случай многофазных цепей.

Многофазная система электрических цепей есть совокупность нескольких однофазных электрических цепей, в каждой из которых действуют синусоидальные ЭДС од­ной и той же частоты, создаваемые общим источником энергии и сдвинутые друг относительно друга по фазе на один и тот же угол. Термин «фаза» применяют для обозначения угла, характеризу­ющего стадию периодического процесса, а также для обозначе­ния однофазной цепи, входящей в многофазную цепь.

Обычно применяют симметричные многофазные системы, у которых амплитудные значения ЭДС одинаковы, а фазы сдвину­ты друг относительно друга на один и тот же угол 2π/т, где т — число фаз.

Наиболее часто в электротехнике используют двух-, трех - и шестифазные цепи. Так, в автоматике и электроизмерительной технике широко распространены двухфазные системы, в элект­роэнергетике наибольшее практическое значение получили трех­фазные системы.

Трехфазные цепи — это совокупность трех однофазных цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, сдвинутые по фазе друг относительно друга на угол 2π/3. Передача электрической энергии на дальние расстояния по трехфазным цепям более выгодна, чем передача энергии по однофазным це­пям. Кроме того, трехфазные синхронные генераторы и двигате­ли, трехфазные асинхронные двигатели и трансформаторы более просты в производстве, экономичны и надежны в эксплуатации. В трехфазных системах достаточно просто получить вращающееся магнитное поле, воздействие которого на проводники с током положено в основу принципа работы асинхронных и синхронных электродвигателей.

Источником электрической энергии в трехфазной цепи явля­ется синхронный генератор, в трех обмотках которого, конструк­тивно сдвинутых друг относительно друга на угол 2п/3 и называ­емых фазами, индуцируются три ЭДС, фазы которых, в свою очередь, также сдвинуты друг относительно друга на угол 2л/3.

Устройство трехфазного синхронного генератора схематически показано на рис. 3.1. В пазах сердечника статора расположены три одинаковые обмотки. Для простоты будем считать, что каждая из обмоток состоит только из одного витка, т. е. из двух проводов, заложенных в диаметрально противоположных пазах статора. Эти два провода каждой из обмоток на заднем торце статора соедине­ны друг с другом (на рис. 5.1 показано пунктиром). На переднем торце статора витки обмоток окан­чиваются зажимами А, В, С (на­чало обмоток) и соответственно зажимами X, Y, Z (концы обмо­ток). Начала обмоток смещены друг относительно друга на угол 2π/3, соответственно их концы также сдвинуты друг относитель­но друга на угол 2π/3. ЭДС в об­мотках статора индуцируются в результате пересечения их витков магнитным полем, которое воз­буждается постоянным током, проходящим по обмотке враща­ющегося ротора, которая называ­ется обмоткой возбуждения. При равномерной частоте вращения ротора в обмотках статора индуцируются синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые по фазе друг относительно друга на угол 2π/3.

Трехфазная система ЭДС, индуцируемых в статоре синхрон­ного генератора, обычно представляет собой симметричную сис­тему.

На электрических схемах обмотки статора трехфазного генера­тора условно изображают так, как показано на рис. 5.2, а. За ус­ловное положительное направление ЭДС в каждой фазе генерато­ра принимают направление от конца к началу обмотки.

Если фазу фазной ЭДС А принять за исходную, равную нулю, то мгновенные значения ЭДС трехфазного генератора (рис. 5.2, б) можно выразить аналитически:

еА = Еmsinωt

еB= Етsin(ωt-120°)

еC= Етsin(ωt-240°)

Для симметричной трехфазной системы ЭДС справедливо ра­венство

еА + еB + еC = 0.

То есть алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС сим­метричной системы равна нулю.

Если ротор генератора вращается в направлении, указанном на рис. 5.1, то получается последовательность чередования фаз АBС, т. е. ЭДС фазы В отстает по фазе от ЭДС фазы А и ЭДС фазы С отстает по фазе от ЭДС фазы В. Такую систему ЭДС называют системой прямой последовательности. Если изменить направление вращения ротора генератора на противоположное, то последова­тельность чередования фаз будет обратной. У генераторов роторы всегда вращаются в одном направлении, вследствие чего после­довательность чередования фаз никогда не изменяется. На прак­тике у генераторов обычно применяется прямая последователь­ность чередования фаз.

От последовательности чередования фаз зависит направление вращения трехфазных синхронных и асинхронных двигателей. Дос­таточно поменять местами любые две фазы двигателя, как возни­кает обратная последовательность чередования фаз и, следова­тельно, противоположное направление вращения двигателя.

Последовательность фаз необходимо также учитывать при па­раллельном включении трехфазных генераторов.

Для получения трехфазной системы необходимо определенным образом соединить фазы источника энергии и фазы приемника. Возможны два основных способа соединения источника энергии и приемника в трехфазной систе­ме: «звездой» или «треугольником».

5.2. СОЕДИНЕНИЕ ОБМОТОК ГЕНЕРАТОРА И ФАЗ ПРИЕМНИКА «ЗВЕЗДОЙ»

Каждая фаза трехфазного генератора может быть источником питания для однофазного приемника. В этом случае схема элект­рической цепи имеет вид, изображенный на рис. 5.3, т. е. каждая фаза работает отдельно от других, хотя в целом цепь является трехфазной. Это трехфазная несвязанная система. Чтобы сократить число проводов между генератором и потребителем энергии, при­меняют электрически связанные трехфазные системы. Для этого обмотки трехфазного генератора соединяют «звездой» или «тре­угольником».

На электрической схеме обмотки статора трехфазного генера­тора располагают под углом 120° (см. рис. 5.3). При соединении обмоток «звездой» их концы X, Y, Z соединяют в одну точку N, называемую нейтральной. Отточки N к потребителям энергии про­кладывают нейтральный провод. К потребителям энергии кроме нейтрального прокладывают три линейных провода, которые со­единяются с началами обмоток А, В, С. Такая система называется звездой с нейтральным проводом. Напряжения между линейными и нейтральными проводами (т. е. между началом и концом обмоток генератора) называются фазными напряжениями и обозначаются UA, UB, UC (в общем виде UФ).

Напряжения между линейными проводами (т. е. между началом обмоток) называют линейными напряжениями и обозначают UAB, UBC, UCA (в общем виде UЛ).

На векторной диаграмме (рис. 5.4) сначала строят векторы фаз­ных напряжений ŪA, ŪB,ŪC, равных по значению, повернутых друг относительно друга на 120°. Для построения вектора линей­ного напряжения ŪАВ поступают следующим образом: к вектору ŪA прибавляют вектор ŪB, т. е. вектор, равный по абсолютной величине вектору ŪB, но противоположно направленный.

Действительно, ŪA+(ŪB)=ŪAŪB=ŪАВ. Аналогично стро­ят векторы ŪBC=ŪBŪC и ŪCA=ŪCŪA. Векторы ŪAB, ŪBC, ŪCA образуют симметричную систему, при­чем «звезда» векторов линейных напряжений опережает по фазе «звезду» векторов фазных напряжений на 30°.

Таким образом, действующее значение линейных напряжений равно векторной разности соответствующих фазных напряжений.

На векторной диаграмме напряжений векторы фазных напря­жений образуют звезду, а векторы линейных напряжений — замк­нутый треугольник.

При симметричной системе треугольник линейных напряжений равносторонний, поэтому, чтобы найти соотношение между линей­ными и фазными напряжениями, нужно опустить перпендикуляр из точки N на вектор напряжения ŪАВ. Тогда АВ=ŪАВ= 2ŪBcos30°. Так как ŪАВ=UЛ, а ŪB= UФ, то

Итак, если система напряжений симметрична, то при соеди­нении «звездой» линейное напряжение в
= 1,73 раза больше фазного напряжения. На практике применяются напряжения 220, 380 и 660 В, которые как раз и отличаются друг от друга в 1,73 раза. Если UЛ = 380 В, то UФ= 220 В, что обозначают как 380/220 В. Кроме того, применяют систему 660/380 В.

При подключении приемников к трехфазному генератору, об­мотки которого соединены «звездой» (рис. 5.5), ток протекает по обмоткам генератора, линейным проводам и фазам приемника. Ток в фазах генератора или приемника называется фазным током и обозначается Iф. Ток в линейных проводах называется линейным током и обозначается Iл. Так как обмотки генератора, линейных проводов и приемник, принадлежащие одной фазе, соединяют последова­тельно, при соединении «звездой» линейный ток равен фазному:

IЛ =IФ

Ток в нейтральном проводе IN может быть определен по перво­му правилу Кирхгофа, на основании которого для точки N можно записать уравнение

ĪА + ĪВ + ĪС - ĪN = 0,

откуда

ĪN = ĪА + ĪВ + ĪС

Следовательно, ток в нейтральном проводе равен геометри­ческой сумме фазных токов. Фазные токи при симметричной на­грузке образуют симметричную систему, вследствие чего ток IN в нейтральном проводе равен нулю:

ĪN = ĪА + ĪВ + ĪС=0

При симметрической нагрузке создается такой режим трехфаз­ной цепи, при котором в нейтральном проводе тока нет. Следова­тельно, можно отказаться от нейтрального провода и перейти к трехпроводной трехфазной цепи. Линейные и фазные токи обо­значены IА, IВ, IС.

Обмотки современных трехфазных генераторов, которые уста­навливают на электростанциях, соединяются всегда «звездой», что позволяет выполнять изоляцию обмоток на фазное напряжение, которое меньше линейного в 1,73 раза. При соединении обмоток генератора «звездой» фазы приемника могут быть соединены как «звездой», так и «треугольником».

При анализе трехфазных цепей необходимо знать условные положительные направления ЭДС, напряжений и токов, так как от их выбора зависят знаки в уравнениях, составляемых по прави­лам Кирхгофа, а также направления векторов на векторных диаг­раммах. Как уже указывалось ранее, за условное положительное направление ЭДС в каждой фазе источника принимают направле­ние от ее конца к началу, а за условное положительное направле­ние напряжения в каждой фазе источника принимают направле­ние от начала фазы к ее концу; направление же фазных токов совпадает с направлением ЭДС в каждой фазе источника.

За условные положительные направления линейных напряже­ний принимают направление от начала одной фазы к началу дру­гой, в частности напряжения UАВ направлено от А к В, напряже­ние Uвс — от В к С, напряжение UСА — от С к А. Линейные токи, проходящие через линейные провода, всегда направлены от ис­точника к приемнику. Фазные напряжения и токи приемников направлены в одну и ту же сторону.

5.3. СОЕДИНЕНИЯ ОБМОТОК ГЕНЕРАТОРА И ФАЗ ПРИЕМНИКА «ТРЕУГОЛЬНИКОМ»

Соединение обмоток генератора или фаз приемника, при ко­тором начало одной фазы соединяется с концом другой и образу­ется замкнутый контур, называется соединением «треугольником». Конец первой обмотки X соединяют с началом второй В, конец второй обмотки У — с началом третьей С, конец третьей обмотки 2— с началом первой А (рис. 5.6). Положительные направления ЭДС в обмотках те же, что и на рис. 5.3.

«Треугольником» соединяют и фазы приемника, сопротивле­ния которых обозначены двумя индексами, соответствующими началу и концу фазы. По фазам приемника протекают фазные токи IAB, IBC, ICA.

При отключенном приемнике, когда токи IA, IB и IC равны нулю, в замкнутом контуре обмоток источника питания ток равен нулю, так как система ЭДС симметрична и суммарная ЭДС в контуре равна нулю. Если соединение обмоток «треугольником» выполне­но неправильно, т. е. в одну точку соединены концы или начала двух фаз, то суммарная ЭДС в контуре «треугольника» отлична от нуля и по обмоткам протекает большой ток. Это аварийный ре­жим для источника питания, поэтому он недопустим.

Напряжение между началом и концом фазы при соединении «треугольником» — это напряжение между линейными провода­ми, поэтому при соединении «треугольником» линейное напря­жение равно фазному напряжению:

UЛ=UФ

При подключении приемника, соединенного «треугольником», к источнику питания по фазам приемника протекает фазный ток, который определяется по закону Ома:

Линейные токи можно определить следующим образом:

(5.1)

Итак, линейные токи при соединении «треугольником» равны векторной разности фазных токов тех фаз, которые соединены с данным линейным проводом. Как следует из уравнений (5.1), векторная сумма линейных токов всегда равна нулю:

ĪА + ĪВ + ĪС=0

Система линейных (фазных) напряжений ŪAB, ŪBC и ŪCA при соединении «треугольником» образует такой же замкнутый тре­угольник, как и при соединении «звездой» (рис. 5.7). Фазные токи IАВ, IBC и IСА при симметричной нагрузке равны по значению и сдвинуты по отношению к векторам напряжений на одинаковый угол φ.

Для определения линейных токов на рис. 5.8, а построена век­торная диаграмма тех же фазных токов, что на рис. 5.7. Линейные токи определяются через фазные так же, как и линейные напря­жения (через фазные при соединении «звездой»), поэтому можно сразу построить векторы линейных токов, соединив концы векто­ров фазных токов. Векторы линейных токов образуют замкнутый треугольник. Поскольку при симметричной нагрузке системы фаз­ных и линейных токов симметричны (сравнивая векторные диаг­раммы токов и напряжений), можно заключить, что линейные токи при симметричной нагрузке, соединенной «треугольником», в =1,73 раза больше фазных:

IЛ= I

ФВ общем случае, когда нагрузка несимметрична, системы фаз­ных и линейных токов также несимметричны (рис. 5.8, б).

Схема соединения фаз приемника («звезда» или «треугольник») не зависит от схемы соединения обмоток источника питания. Элек­троприемник присоединяют к источнику питания, имеющему три или четыре зажима. При трех зажимах (А, В и С) обмотки источ­ника питания могут быть соединены как «звездой» без выхода нейтральной точки, так и «треугольником». При четырех зажимах (А, В, С и N) обмотки источника питания соединены «звездой» с выведенной нейтральной точкой. Фазы приемника могут быть со­единены «звездой» с нейтральным проводом только в этом слу­чае.

Итак, независимо от способа соединения фаз источника ли­нейные напряжения между линейными проводами трехфазной цепи одинаковы и сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол 2π/3, вследствие чего сумма их мгновенных значений или векторов всегда равна нулю.

Однако значения линейных напряжений при соединении фаз источника «треугольником» будет в раз меньше, чем значения линейных напряжений при соединении фаз того же источника «звездой».

Кроме рассмотренных соединений «звезда»-«звезда» и «тре­угольник»-«треугольник» на практике также применяются схе­мы «звезда»-«треугольник» и «треугольник»-«звезда».

Пример 5.1.

Каждая фаза приемника энергии, соединенного «звездой», состоит из активного и индуктивного сопротивлений. Известны токи фаз и углы сдвига фаз: IА= IВ=5 А; IС = 7 А; φA= φB= φC = 45°. Определить ток IN в нейтральном проводе графическим методом.

Решение.

Для определения тока ĪN построим векторную ди­аграмму напряжений и токов (рис. 5.9):

- сначала строим векторы фазных напряжений ŪА, ŪB и ŪC, сдвинутые друг относительно друга на 120°;

- задавшись мас­штабом, строим вектор первого фазного тока ĪА; при активно-индуктивной нагрузке вектор ĪА повернут относительно вектора UA на 45° по ходу часовой стрелки;

- аналогично строим векторы ĪB и ĪC;

- геометрически сложив век­торы ĪA, ĪB и ĪC, найдем IN = 2 А.

5.4. НАЗНАЧЕНИЕ НЕЙТРАЛЬНОГО ПРОВОДА В ЧЕТЫРЕХПРОВОДНОЙ ЦЕПИ

Ток в нейтральном проводе равен нулю при строго симметри­чной нагрузке. Если нагрузка несимметричная, т. е. ZA≠ZB≠ ZC, то неравными будут и токи: ĪA≠ĪB≠ĪC. Тогда на основе постро­ения нетрудно убедиться, что при симметрии фазных напряже­ний ток в нейтральном проводе не равен нулю: ĪN ≠0 (за исклю­чением некоторых случаев).

Итак, при симметрии фазных напряжений и несимметрии на­грузки в нейтральном проводе есть ток. Представим себе, что ней­тральный провод оборвался: ĪN ≠0. При этом токи IA, IB, IC дол­жны измениться так, чтобы их векторная сумма оказалась равной нулю: ĪА + ĪВ + ĪС=0.

Но при заданных сопротивлениях нагрузки ZA, ZB, Zc токи мо­гут изменяться только за счет фазных напряжений. Следователь­но, обрыв нейтрального провода в общем случае приводит к из­менению фазных напряжений; симметричные фазные напряже­ния становятся несимметричными. При несимметричной нагруз­ке и отключенном нейтральном проводе происходит смещение точки N приемника из центра треугольника линейных напряже­ний генератора. В результате этого изменяются фазные напряже­ния приемника электрической энергии. Более загруженные фазы приемника (с меньшим полным сопротивлением) оказываются под меньшим фазным напряжением, менее загруженные (с боль­шим полным сопротивлением) — под большим фазным напря­жением.

Нейтральный провод обеспечивает выравнивание напряжения на фазах потребителя при несимметричной нагрузке. Четырехпроводные трехфазные системы широко применяются для освети­тельной нагрузки и другой бытовой нагрузки. При этом номи­нальное напряжение ламп равно фазному напряжению сети. Во избежание разрыва цепи нейтрального провода в нем не устанав­ливают предохранителей и выключателей.

Несимметрия фазных напряжений недопустима, так как она приводит к нарушению нормальной работы потребителей, рас­считанных на определенное рабочее напряжение.

5.5. АКТИВНАЯ, РЕАКТИВНАЯ И ПОЛНАЯ МОЩНОСТИ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ

Активная мощность трехфазной цепи равна сумме активных мощностей ее фаз:

Р=РА + РВ + РС.

Реактивная мощность трехфазной цепи равна сумме реактив­ных мощностей ее фаз:

Q=Qa+Qb+Qo

Очевидно, что в симметричной трехфазной цепи РА=РB= РC= РФ, QА=QВ=QС= =QФ. Тогда Р = 3РФ, Q=3QФ.

Мощность одной фазы определяется по формулам для одно­фазной цепи. Таким образом:

Р = 3UФIФcosφ; Q=3UФIФsinφ

Эти формулы можно использовать для расчета мощности сим­метричной трехфазной цепи. Однако измерения фазных напряже­ний и токов связаны с некоторыми трудностями, так как необхо­дим доступ к нейтральной точке, которая не всегда имеет специ­альный вывод и находится внутри машины. Проще измерить ли­нейные токи напряжения непосредственно на клеммах щита пи­тания. Поэтому формулы мощности трехфазной системы записы­вают через линейные токи и напряжения.

При соединении «звездой»

При соединении «треугольником»

Таким образом, в обоих случаях активная мощность симмет­ричной цепи определяется по формуле

Реактивная мощность определяется аналогично по формуле

Полная мощность определяется по формуле

Эти формулы точны для симметричных цепей. Реальные цепи Рассчитываются таким образом, чтобы их нагрузка была близка с симметричной, поэтому приведенные формулы имеют широкое применение.

Пример 5.2.

Каждая фаза приемника энергии, соединенного «звездой», состоит из активного и индуктивного сопротивлений. Известны токи фаз и углы сдвига фаз: IА= IВ=5 А; IС = 7 А; φA= φB= φC = 45°. Определить активную мощ­ность трехфазной цепи, если фазное напряжение приемника UФ = UA= UB= Uc= 220 В.

Решение.

1.  Активные мощности фаз приемника:

РА = UАIАcosφА= 220×5×cos45°= 777 Вт

РВ = UВIВcosφВ= 220×5×cos45°= 777 Вт

РС = UСIСcosφС= 220×7×cos45°= 1089 Вт

2.  Активная мощность трехфазной цепи:

Р= РА + РВ + РС = 777+777+1089 =2643 Вт

Пример 5.3.

В трехфазную сеть с линейным напряжением UЛ = 220 В включен приемник, фазы которого имеют активное со­противление R= 30 Ом и индуктивное сопротивление XL = 40 Ом. Определить фазный и линейный токи, активную мощность и cosφ.

Решение.

1.  Полное сопротивление фазы приемника:

2.  Фазный ток

3.  Линейный ток

4.  Активная мощность

Контрольные вопросы

1.  Каковы устройство простейшего генератора трехфазного тока и прин­
цип получения трех одинаковых ЭДС, имеющих сдвиг по фазе, равный
120°?

2.  Поясните схемы соединения обмотки трехфазного генератора.

3.  К чему приведет обрыв нейтрального провода при несимметричной
нагрузке?

4.  Каково соотношение между фазными и линейными напряжениями
и токами при различных схемах соединения потребителей?