08-15-02. Приближенное вычисление корней методом деления отрезка пополам.
1. Один из методов приближенного вычисления корней уравнений основан на следующем свойстве некоторых функций:
если функция 
в концах отрезка 
принимает значения 
и 
разных знаков, то на отрезке существует такое число 
, при котором значение функции равно нулю.
Этим свойством обладают, например, каждый многочлен от переменной 
, функция 
, функции 
и 
.
На графике функции указанное свойство означает, что если рассматривать часть графика, которая соединяет точку с положительной ординатой и точку с отрицательной ординатой, то эта часть обязательно пересекает ось 
(рисунок 1).
Пример 1. Рассмотрим функцию 
. Вычислим значения 
и 
. Так как эти значения разных знаков, то на отрезке 
найдется такое число , что 
(рисунок 2). Следовательно, уравнение 
имеет корень, который находится между числами 0 и 1.
2. Разберем один из способов приближенного вычисления 
.
По определению число является корнем уравнения 
. Поэтому рассмотрим функцию 
, часть графика которой изображена на рисунке 3.
Выберем на оси отрезок, в концах которого функция принимает значения разных знаков. Нетрудно заметить, что 
, а 
. Следовательно, корень уравнения лежит на отрезке 
длины 1. Отсюда получаем, что
Разделим отрезок точкой 
пополам и вычислим 
. Так как 
, а 
, то выберем отрезок 
, в концах которого функция принимает значения разных знаков (рисунок 4). Корень уравнения лежит на отрезке длины 
. Следовательно,
Разделим теперь отрезок точкой 
пополам и вычислим 
. Так как 
, а , то выберем отрезок 
, в концах которого функция принимает значения разных знаков (рисунок 5). Корень уравнения лежит на отрезке 
. Следовательно,
Продолжим намеченный процесс дальше.
На четвертом шаге вычислим 
, 
, выберем отрезок 
длины 
, содержащий , откуда получим, что
На пятом шаге вычислим 
, 
, выберем отрезок 
длины 
, содержащий , откуда получим, что
На шестом шаге вычислим 
, 
выберем отрезок 
длины 
, содержащий , откуда получим, что
На седьмом шаге вычислим 
, 
, выберем отрезок 
длины 
, содержащий , откуда получим, что
В результате на каждом шаге для получаем приближенные значения по недостатку и с избытком. После семи шагов можно взять следующие приближенные значения :
по недостатку с точностью ;
с избытком с точностью ;
значение 
, абсолютная погрешность которого не превосходит 
.
3. Приближенное вычисление корня уравнения 
, который содержится в отрезке [1;2].
Рассмотрим уравнение 
. График функции 
изображен на рисунке 6. По этому графику можно понять, что на отрезке [1;2] уравнение имеет корень. Для проверки вычислим 
и 
. Так как в концах отрезка [1;2] функция принимает значения разных знаков, то на самом деле уравнение имеет корень 
, который больше 1 и меньше 2.
Приближенные значения можно вычислить аналогично тому, как это было показано в предыдущем пункте. На втором шаге вычислим
, 
, выберем отрезок 
, содержащий , откуда получим, что 
.
На третьем шаге вычислим
, 
, выберем отрезок 
, содержащий , откуда получим, что 
.
На четвертом шаге вычислим
, 
, выберем отрезок 
, содержащий , откуда получим, что 
.
Намеченный процесс можно продолжать дальше, получая на каждом очередном шаге все более точные приближенные значения для корня .
Контрольные вопросы
1. На каком свойстве основано решение уравнений методом деления пополам?
2. В чем состоит решение уравнений методом деления пополам?
3. Сколько шагов метода деления пополам нужно сделать, чтобы найти корень уравнения с точностью 0,01, если известно, что этот корень лежит на промежутке [3;4]?
Задачи и упражнения
1. Найдите целую часть положительного корня уравнения 
.
2. Найдите целую часть положительного корня уравнения 
.
3. Докажите, что у уравнения
есть ровно один положительный действительный корень.
Рассмотрите три способа решения этой задачи:
а) непосредственное вычисление корней 
уравнения и доказательство того, что 
;
б) применение теоремы Виета;
в) применение теоремы о промежуточном значении.
4. Докажите, что уравнение
имеет по крайней мере один положительный корень.
5. Найдите приближенное значение 
методом деления пополам с точностью до двух знаков после запятой.
6. Найдите приближенное значение 
методом деления пополам с точностью до двух знаков после запятой.
7. а) Докажите, что уравнение
имеет три корня: один на интервале (-3;-2), другой на интервале (0;1) и третий на интервале (1;2).
б) Найдите корень этого уравнения лежащий на интервале (0;1), с точностью до одного знака после запятой.
8. Докажите, что уравнение
имеет не менее двух действительных корней.
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Нет.
