Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т. е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

2) Пусть х - любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

-  это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

 Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

  (1)

 Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

 Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

  (2)

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

  (3)

 Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:

…………………….

 Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:

 Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т. е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)

 

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).

 y Как видно на рисунке, в

 точке х = а значение мно-

 f(x) Rn+1(x) гочлена в точности совпа-

 дает со значением функции.

 Pn(x) Однако, при удалении от точ ки х = а расхождение значе- ний увеличивается. 

 Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т. к. точка eÎ(a, x), то найдется такое число q из интервала 0 < q < 1, что e = a + q(x – a).

 Тогда можно записать:

Тогда, если принять a = x0, x – a = Dx, x = x0 + Dx, формулу Тейлора можно записать в виде:

где 0 < q < 1

 Если принять n =0, получим: f(x0 + Dx) – f(x0) = f¢(x0 + qDx)×Dx – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).

 Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т. д.

 При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.

Формула Маклорена.

Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.

 Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

 Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т. к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой - либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

 Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

 Т. е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

 Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при х®а, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т. е.

.

 Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.

 Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

 Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

 Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Функция f(x) = ex.

 Находим: f(x) = ex,  f(0) = 1

f¢(x) = ex,  f¢(0) = 1

……………………

f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1

Тогда: 

 Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

 На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

 Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

Функция f(x) = sinx.

 Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0

 f¢(x) = cosx = sin( x + p/2); f¢(0) = 1;

 f¢¢(x) = - sinx = sin(x + 2p/2); f¢¢(0) = 0;

 f¢¢¢(x) = -cosx = sin(x + 3p/2); f¢¢¢(0)=-1;

 …………………………………………

 f(n)(x) = sin(x + pn/2);  f(n)(0) = sin(pn/2);

 f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)p/2); f(n+1)(e) = sin(e + (n + 1)p/2);

Итого: 

Функция f(x) = cosx.

 Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:

 

Функция f(x) = (1 + x)a. (a - действительное число)

…………………………………………………..

Тогда:

 Если в полученной формуле принять a = n, где n - натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда

 Получилась формула, известная как бином Ньютона.

 Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

 На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.

Рис. 1. Два члена разложения

Рис. 2. Четыре члена разложения

Рис. 3. Шесть членов разложения

Рис. 4. Десять членов разложения

 Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.

Для примера вычислим значение sin200.

Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = p/9.

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

 На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.

 Выше говорилось, что при х®0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т. е. sinx @ x.

 Пример: Вычислить sin28013¢15¢¢.

Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

10 = ;  280;

1¢; ;

; ;

рад

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим: sinx = .

Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла,

sin= 0,472869017612759812,

видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Функция f(x) = ln(1 + x).

 Получаем: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f¢(x) = ; 

 

 

………………………………………

 

Итого:

 Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

ln1,5 = 0,405465108108164381

 Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.

 Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов.

Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для выПример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел (1401)

.

Имеем: =|x|=  sign x +o().

Пример 8. Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x4 включительно (1377).

Сначала выпишем разложение функции  по степеням x до x3 включительно.

Положим u=x - x2 , тогда ==1+u+u2+u3+o(u3) =1+ x - x2+(x – x2)2+(x – x2)3+o(x3)=1+x – x3 +o(x3). Далее,

==1+2x(1+x – x3 +o(x3))=1+2x+2x2-2x4+o(x4).

Второй способ. Так как , то на первом шаге выделяем единицу:

=. Второе слагаемое представляем в виде Cxng2(x) так, чтобы  , после чего следует представить функцию g2(x) в виде g2(x)= 1+g3(x) и т. д. В нашем случае: ====

==1+2x+=

1+2x+2x2=1+2x+2x2-2x4+o(x4).

Вычисления пределов

Пример 1.

Пример 2.

.

Пример 3. (1381) Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5 включительно.

. Для решения задачи возьмем разложения функции

e2x = 1+2x+++++o(x5),

=(1+2x+++++o(x5))( )=

1+2x+x2+x3+x4+x5+o(x5)=

1+2x+x2x3x4x5+o(x5).

Примеры

Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5 включительно. Представим функцию в виде

=1+u+u2+u3+o(u3), где u =. Тогда

=1+u+u2+u3+o(u3)=1++++. При вычислении степеней  нас интересуют только слагаемые степеней не выше x5 , более высокие степени войдут в o(x5). Таким образом,=,=, =. Выражение = показывает, что в разложении =1+u+u2+u3+o(u3) можно, с самого начала, ограничится второй степенью =1+u+u2+o(x5). Подставляя нужные выражения в это равенство получим =1+++=1+++.

Пример. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f(x)=tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x6 включительно.

tg x==

=

x+x2(0)+x3+x4(0)+x5+x6(0)=

=

Пример. Разложить функцию f(x)=(1+x)a - (1 - x)a по формуле Тейлора с остатком Пиано.

k = 2l+1,

Таким образом,

Следствие.

Формула Тейлора

Формула Тейлора для четных и нечетных функций

Теорема 1. Если функция f(x) четна и существует f(2n+1)(0), то имеет место следующее разложение этой функции

.

Если функция f(x) нечетна и существует f(2n+2)(0), то имеет место следующее разложение этой функции

.

Теорема 2. Если функция f(x) четна и существует f(2n+2)(x) в некоторой окрестности U(0), то для xÎU(0) справедливо равенство

,

где xÎ(0,x) или xÎ(x,0).

Если функция f(x) нечетна и существует f(2n+3)(x) в некоторой окрестности U(0), то для xÎU(0) справедливо равенство

,

где xÎ(0,x) или xÎ(x,0).

Доказательство. Как уже отмечалось ранее, у четной функции все производные нечетного порядка являются нечетными функциями и, поэтому, они равны нулю с точке ноль

f(2k+1)(0) = 0 , если f(x) четна.

Отсюда и получаются указанные формулы, если использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+1 включительно. У нечетной функции все производные четного порядка будут нечетными функциями и

f(2k)(0) = 0 , если f(x) нечетна.

В этом случае необходимо использовать многочлен Тейлора до порядка 2n+2 включительно.

Формула Тейлора

Формула Тейлора позволяет данную функцию у=f(x) представить в виде многочлена с со счетным числом слагаемых (ряда) по степеням х.

 (4.1.)

или по степеням х-х0:

   (4.2.)

При   для (4.1.) или  для (4.2.) эти равенства можно записать так:

  (4.1’)

 ,  (4.2’)

 где через о(хn) обозначается бесконечно малая величина более высокого порядка, чем хn.

-остаток формулы Тейлора.

Формула Тейлора

 Формулы Тейлора часто применяют для приближенного вычисления значений функции и о(хn) указывает степень точности вычисления.

Чтобы пользоваться формулой Тейлора, надо знать вид формулы Тейлора для основных элементарных функций:

Следует помнить, что применять формулы (4.1.) или 1-10 можно для функции   только в случае, если  при .

Формула Тейлора

Рассмотрим примеры.

  Пример 5.1. Разложить по формуле Тейлора функции:

а)

б)

в)

Решение. а) . В формуле 1 мы не можем вместо х поставить 3х-2, так как  при . Функцию надо преобразовать:

.

Вместо х можно подставить 3х так как  при .

б) . Сначала преобразуем функцию так, чтобы первое слагаемое равнялось 1.

Запишем формулу бинома 6. для случая .

 

Для данной функции имеем (вместо х подставляем ):

  в) . Так как здесь  при , то можно в формуле 8 вместо х записать х+6х2.

Однако, если квадратный трехчлен, находящийся под знаком логарифма имеет действительные корни, то лучше разложить его на линейные множители:

Отметим, что формулы 1-10 можно применять и в тех случаях, когда данную функцию требуется представить в виде многочлена Тейлора по степеням х-х0. Для этого функцию f(x) надо преобразовать так, чтобы она зависела от , причем  при .

 Пример Представить в виде многочлена Тейлора функции:

а)  по степеням х-1

б)  по степеням х+1

Решение. а)  по степеням х-1. Так как  при , то использовать формулу 1 пока нельзя. Надо функцию преобразовать так, чтобы она зависила от . Имеем: . Теперь можно использовать формулу 1. Надо вместо x подставить 3(x-1).

.

б)  по степеням х+1. Здесь нам придется применить формулы, получающиеся из формулы 6 при m = -1.

  (6’)

 (6’’)

Сначала данную функцию представим в виде суммы двух простых дробей.

  (*)

Каждую дробь надо преобразовать так, чтобы она зависела от (x+1) и первое слагаемое в знаменателе дроби равнялось 1.

.

В формуле (6’’) вместо х подставляем . Получим:

 

Для второй дроби имеем:

Здесь в формуле (6’) вместо х подставляем х+1.

Подставив все это в (*), получим:

Пример Вычислить пределы.

а) , б) .

Решение. Отметим, что в обоих случаях мы имеем неопределенность .

  а) Здесь применяем формулы 11 и 12.

Тогда

б) Так как ,

то

Так как ,

 то

Получим

Отметим, что в рассмотренных примерах эквивалентность применялась, как и положено, ко всему числителю и ко всему знаменателю. Если эквивалентность применять к отдельным слагаемым в числителе или знаменателе, то можно допустить ошибку. Так, если в примере 19б) в числителе применить формулу эквивалентности  и в знаменателе применить эквивалентность , то получим неверный результат:. На самом деле, как мы видели выше, предел этот равен  . Применение эквивалентности к отдельным слагаемым может привести к серьезным ошибкам. Конечно, надежнее всего применять эквивалентность к числителю и знаменателю. Но это, чаще всего, не так просто сделать. Рассмотренный выше пример 5.3. был специально подобран так, чтобы это можно было сделать легко. Если применение эквивалентности для всего числителя (или знаменателя) затруднено, то следует применять сами формулы Тейлора. Весь вопрос в этом случае, сколько членов в формуле Тейлора взять за основу? Например, формулу 1 можно применить в виде: , или ,

или   и т. д.

Надо помнить основное очень простое правило. Главным членом бесконечно малого многочлена, то есть стремящегося к нулю при , является младший член (с наименьшим показателем степени). Например, при  главным членом многочлена  является член -7х2 .

При применении формулы Тейлора к отдельным членам числителя (или знаменателя) надо выбирать столько членов для каждого слагаемого, чтобы не потерять главный член.

Пример Найти главные члены для функций  и  и найти предел .

Решение. Напишем формулы Тейлора для sinx и cosx.

,

Так как , то ясно, что для нахождения главной части функции   достаточно взять по два члена в разложении функций sinx и cosx, т. е.

Итак, главная часть функции f(x) при  равна .

Для функции  имеем:

, ,

Здесь главная часть равна .

Тогда .

  Пример 5.5. Вычислить предел функции

 .

Решение. Имеем при :

Числитель примет вид:

Для знаменателя имеем:

Окончательно получим:

 Пример Найти предел функции .

Решение. Здесь, как впрочем и во всех предыдущих примерах, имеем неопределенность . Так как знаменатель одночлен, то можно применить эквивалентность 1-го порядка:

 

Для числителя имеем:

.