Условия, решения, комментарии и критерии проверки

Условия, решения, комментарии и критерии проверки

Каждое задание оценивается, исходя из 10 баллов

I. Решите задачи.

1. Жизнь и судьба. Если бы Александр Македонский прожил на 5 лет меньше, то он бы правил четверть своей жизни, а если бы он прожил на 9 лет больше, то правил бы полжизни. Сколько лет он прожил?

Ответ: 33 года.

Решение. Пусть Александр прожил x лет, из которых правил y лет. Учитывая, что при изменении срока жизни срок правления изменяется соответственно, получим систему уравнений: . Ее решение: .

Фольклор

Критерии проверки.

Приведены верный ответ и полное обоснованное решение – 10 баллов

Верно составлена система уравнений, но при ее решении допущена вычислительная ошибка – 5 баллов

Приведен только верный ответ – 1 балл

2. Корни уравнений. Известно, что уравнение bx2 + a = 0 имеет хотя бы один корень, а уравнение сx2 + b = 0 корней не имеет. Имеет ли корни уравнение ax2 + bx + c = 0?

Ответ: имеет.

Решение. Уравнение bx2 + a = 0 имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда a = 0 или числа а и b разных знаков. Уравнение сx2 + b = 0 не имеет корней тогда и только тогда, когда c = 0, b ¹ 0 или числа с и b одного знака. Заметим, что если с = 0, то, независимо от значений а и b, уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет хотя бы один корень (x = 0). Следовательно, осталось рассмотреть два случая:

1) если a = 0, bc > 0, то уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень;

2) если ab < 0, bc > 0, то числа а и с имеют разные знаки, поэтому дискриминант квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 положителен, то есть оно имеет два корня.

А. Блинков, XXII турнир имени

Критерии проверки.

Приведены верный ответ и полное обоснованное решение – 10 баллов

Верный ответ получен, но рассмотрены не все возможные случаи (например, не учтено, что какие-то из коэффициентов могут быть нулевыми) – 5 баллов

Приведен только верный ответ – 1 балл

3. Кратчайший путь. На ребрах АВ и CD правильного тетраэдра ABCD с ребром длины 4 отмечены точки Е и F соответственно. Найдите длину кратчайшего пути из Е в F по поверхности тетраэдра, если АЕ = CF = 1.

Ответ: 2.

Решение. На пути из Е в F потребуется пересечь одно из тех ребер тетраэдра, на которых не лежат заданные точки. Рассмотрим соответствующие развертки двух граней, тогда кратчайший путь – это отрезок EF (см. рис. 3 а – г).

Рис. 3г

Если искомый путь пересекает ребро АС (см. рис. 3а), то длина EF равна высоте равностороннего треугольника со стороной 4, то есть EF = 2. Если он пересекает ребро ВС (см. рис. 3б) или ребро AD (см. рис. 3в), то длина EF равна стороне равностороннего треугольника, которая больше высоты. Если же путь пересекает ребро BD (см. рис. 3г), то длина EF больше стороны.

Рис. 3а Рис. 3б Рис. 3в

А. Блинков (по мотивам задачи из базы Р. Гордина)

Критерии проверки.

Приведены верный ответ и полное обоснованное решение – 10 баллов

Верный ответ получен с помощью развертки, но

·  не рассмотрен случай рис. 3б или случай рис. 3в (и не сказано, что они аналогичны) – 9 баллов

·  не рассмотрен случай рис. 3г – 7 баллов

·  не рассмотрены случаи рис. 3б и 3в – 6 баллов

·  рассмотрен только случай рис. 3а – 5 баллов

Есть идея развертки, но верный ответ не получен, либо получен неверный ответ – 2 балла

Приведен только верный ответ – 1 балл

4. Кола. Кола продается в бутылках по 1 литру, 0,75 литра и 0,5 литра. Петя и Вася купили n литров колы. При каких целых n можно гарантировать, что купленную колу они смогут разделить поровну на двоих, не открывая бутылок?

Ответ: при всех n, кратных шести.

Решение. Будем выражать объемы в единицах, равных четверти литра, то есть будем считать, что куплено V = 4n таких единиц колы, а бутылки имеют объемы 4, 3 и 2 соответственно.

1) Заметим, что V должно делиться на 3, иначе возможны случаи, когда куплены одна бутылка 2 или одна бутылка 4, а остальные бутылки – по 3. Тогда разделить этот объем пополам невозможно. Следовательно, n = 3k, где k – натуральное число, то есть V = 12k.

2) Заметим, что число k должно быть четным, иначе возможны случаи, когда куплено нечетное количество бутылок по 4. В этих случаях разделить пополам также невозможно. Следовательно, V = 24m, где m – натуральное число.

3) Докажем, что такой объем можно разделить пополам при любом натуральном значении m. Действительно, в этом случае количество бутылок по 3 будет четным, поэтому их можно разбить на группы объема 6, причем оставшийся объем делится на 6.. Из него выделим все возможные пары бутылок 2 + 4, тогда оставшийся объем опять же делится на 6. Этот объем составляют либо только бутылки по 2, либо только бутылки по 4. В первом случае их можно разбить на 2 + 2 + 2 = 6, а во втором – на группы 4 + 4 + 4 = 12.

Таким образом, все бутылки разобьются на группы по 6 или по 12, поэтому их можно будет разделить на две части по 12m, то есть на две части равного объема. Следовательно, n = 6m.

Е. Бакаев, XXII турнир имени

Критерии проверки.

Приведены верный ответ и полное обоснованное решение – 10 баллов

Приведены верный ответ и верное в целом решение, в котором есть незначительные пробелы или неточности – 8 баллов

Приведен верный ответ и доказано, что при n = 6m разделить пополам возможно, но не доказано, что это может оказаться невозможным при иных значениях n – 5 баллов

Приведен и полностью обоснован один из возможных ответов или подмножество верных – 2 балла

Приведен только верный ответ – 1 балл

II. Методический блок.

В заданиях №№5 – 7 могут содержаться математические ошибки (как в условиях «задач», так и в «ответах» и «решениях»). Если некорректно условие «задачи», то объясните, почему это так. Если неверно только «решение», то укажите все ошибки и приведите верное решение.

5. Рыцари и лжецы. «Задача». На острове живут рыцари и лжецы. Как-то за круглым столом собралось 12 островитян. Каждый их них сказал: «Оба моих соседа – лжецы». Сколько лжецов было за столом?

«Ответ»: 6.

«Решение». Все сидящие за столом не могли быть лжецами, так как тогда для каждого из них высказывание было бы верным. Значит, за столом был хотя бы один рыцарь. Его правый сосед – лжец, так как рыцарь сказал правду. Правый сосед лжеца – рыцарь, так как лжец солгал. Правый сосед этого рыцаря – лжец, и так далее. Таким образом, рыцари и лжецы сидят через одного, следовательно, лжецов было 6.

Рис. 5а

Комментарий. Первые два предложения в «решении» не содержат ошибок. Но соседями любого лжеца могут являться не только два рыцаря (как указано в «решении»), а также рыцарь и лжец. Заметим, что никакие два рыцаря не могут быть соседями, значит, рыцарей не больше шести, то есть лжецов – не меньше шести. Кроме того, в каждой тройке сидящих подряд есть хотя бы один рыцарь, поэтому рыцарей не меньше четырех, то есть лжецов – не больше восьми.

Примеры возможной рассадки для восьми и семи лжецов показаны на рисунках справа. Таким образом, лжецов могло быть 6, 7 или 8.

ноль

Критерии проверки (баллы 1) и 2) суммируются).

1) Верно указана ошибка в «решении» – 5 баллов

Рис. 5б

Ошибка в явном виде не сформулирована, но по ходу рассуждений ее можно выявить – 2 балла

2) Приведено верное решение – 5 баллов

Приведены верный ход рассуждений и верный ответ, но нет одного примера – 3 балла

Приведены и обоснованы только ответы 6 и 8 – 2 балла

6. Наименьшее значение. «Задача». Найдите наименьшее значение выражения при x > 0.

«Ответ»: 6.

«Решение». Воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим: . Тогда и . Перемножая эти неравенства почленно, получим: , значит, ³ 6.

Следовательно, искомое наименьшее значение равно 6.

Комментарий. Полученный «ответ» не верен, так как значение 6 не достигается. Действительно, первое из записанных неравенств обращается в равенство при x = 3, а второе – при x = 12, что одновременно невозможно.

На самом деле: = = = ³ 6,75, так как ³ 2. Равенство достигается при x = 6, значит искомое наименьшее значение равно 6,75.

толбов

Критерии проверки (баллы суммируются).

Верно указана ошибка в «решении» – 5 баллов

Приведено верное решение – 5 баллов

7. Середины. «Задача». В треугольнике проведены все: а) медианы; б) высоты; в) биссектрисы. Могут ли их середины лежать на одной прямой?

«Ответ»: а), б), в) не могут.

«Решение». Рассмотрим, например, медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС и отметим их середины K, M и N (см. рисунок).

Проведем средние линии треугольника АВС, тогда точки K, M и N лежат на сторонах треугольника А1В1С1 (по одной внутри каждой стороны). Следовательно, эти точки не могут лежать на одной прямой.

Для высот и биссектрис рассуждения аналогичны.

Рис. 7

Комментарий. В приведенном «решении» ошибок нет. Рассуждения для середин биссектрис действительно аналогичны: по-прежнему рассматривается «срединный» треугольник, вершины которого уже не совпадают с основаниями биссектрис.

Но середины высот могут лежать на одной прямой. Действительно, в прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами, а середины катетов лежат на одной прямой с серединой высоты, проведенной к гипотенузе, что следует из теоремы Фалеса (см. рис. 7).

линков

Критерии проверки (баллы суммируются).

Указано, что приведенные рассуждение и ответ являются верными – 2 балла

Указано или показано, что для биссектрис ответ такой же, а рассуждения аналогичны – 2 балла

Указано, что для высот ответ будет другим – 1 балл

Для высот приведен контрпример – 5 баллов

8. Уравнение. Для проверочной работы учителю понадобилось придумать тригонометрическое уравнение, множеством решений которого будет являться объединение бесконечного количества промежутков и бесконечного множества отдельных точек: .

Приведите пример такого уравнения и запишите его решение.

Комментарий. Один из возможных примеров: = 0.

Действительно, это уравнение равносильно совокупности . Первое равенство равносильно неравенству sinx > 0, то есть . Решением второго являются , где mÎZ, но числа вида , где lÎZ, уже вошли в промежутки, указанные выше.

Существует и много других примеров.

линков, Д. Шноль

Критерии проверки.

Приведены верный пример и верное решение – 10 баллов

Приведен верный пример, но его решение отсутствует – 6 баллов

Верный пример не приведен, но есть верные идеи, которые позволят его построить – 2 балла