Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

Урок № 6

Тема: Показательная функция.
Показательные уравнения и неравенства.

Цель: Закрепить знания учащихся по теме «Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства»; подготовить учащихся к написанию контрольной работы по разделу «Показательная функция»; обеспечить рабочую обстановку на уроке.

Оборудование: доска, плакаты.

Форма урока: классно-урочная

Вид урока: практическое занятие.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

План урока

1.  Организационный момент

2.  Проверка домашнего задания и актуализация опорных знаний

3.  Подготовка к контрольной работе

4.  Подведение итогов

5.  Задание на дом

Ход урока.

1. Организационный момент:

- Здравствуйте, откройте тетради, запишите число и тему урока «Показательные уравнения и неравенства»

2  Проверка домашнего задания и актуализация опорных знаний

Цель: осуществить контроль выполнения домашнего задания и знания теории.

Метод: фронтальный опрос

- Начнём наш урок с проверки домашнего задания. Вначале проверим выполнение номеров по задачнику. Называю вам номер и пункт, вы говорите ответ. № 000 а.

-

- № 000 б

-

-№ 000 в

-

- № 000 г

-

- № 000 а

-

- № 000 б

-

- № 000 в

-

- № 000 г

- .

- Теперь давайте вспомним всю теорию по разделу «Показательная функция». Начнем с того, какую функцию мы называем показательной?

- - Функция вида , где и , называестся показательной функцией.

- Какая область определения у этой функции?

- Все действительные числа.

- Какая область значений показательной функции?

- Все положительные действительные числа.

- В каком случае показательная функция убывает на своей области определения?

- Убывает если основание степени больше нуля, но меньше единицы.

- В каком случае показательная функция возрастает на своей области определения?

- Возрастает, если основание степени больше единицы.

- - Какое уравнение называется показательным?

- Показательными уравнениями называют уравнения вида , где — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

- Какие методы решения показательных уравнений вы знаете?

- Функционально-графический метод, метод уравнивания показателей, метод введения новой переменной.

- В чем состоит суть метод уравнивания показателей. Сформулируйте соответствующую теорему.

- Показательное уравнение (где , ) равносильно уравнению .

- Какие неравенства называются показательными?

- Показательными неравенствами называют неравенства вида , где — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

- Какими методами мы можем решать показательные неравенства?

- Функционально-графическим методом, методом перехода от неравенства функций к неравенству аргументов, методом введения новой переменной.

- На чем основам функционально-графический метод?

- Функционально-графический метод основан на использовании при решении неравенства свойств и графиков функций.

- В каком случае, при использовании методом перехода от неравенства функций к неравенству аргументов при решении показательных неравенств мы меняем знак неравенства на противоположный?

- В случае, если основание показательной функции меньше единицы (но больше нуля).

3 Подготовка к контрольной работе.

Цель: подготовить учащихся к успешному написанию контрольной работы по теме «Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства».

Метод: работа у доски, работа в тетради, вопрос-ответ.

- На следующем занятии будем писать контрольную работу, а для успешного её написания нам нужно потренироваться. Сегодня мы будем решать задания очень похожие на те, которые будут в контрольной работе.

№ 1. Постройте график функции: . Как построить этот график?

- Сначала построим график функции , потом путём параллельного переноса перенести этот график на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

- Какова область определения функции ?

- Область определения функции вся числовая прямая.

- Какова область значений функции ?

- Область значений функции все положительные числа.

- Имеются ли наибольшее и наименьшее значения функции ?

- Наибольшего и наименьшего значения функции не имеет.

- Постройте функции:

- № 2. Решите уравнение: .

- Замечаем, что , тогда уравнение можно переписать в виде: . Решим его: ; , . Данное уравнение решается методом уравнивания показателей, т. е. . Ответ: .

- № 3. Решите неравенство: .

- Замечаем, что . Тогда исходное неравенство равносильно . Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов противоположного смысла . решая которое: , , , получаем ответ: .

- № 4. Решите уравнение: .

- Обращая внимание на то, что и исходное уравнение можно переписать в виде: , которое равносильно . Данное уравнение решается методом введения новой переменной: , тогда неравенство примет вид . Решив квадратное уравнение относительно , находим: , т. е. и . Но , значит, нам остается решить два уравнения: и (что то же ). Первое уравнение не имеет решения, так как , второе показательное уравнение решаем методом уравнивания коэффициентов, и получаем ответ: .

№ 5. Решите неравенство: .

- Замечаем, что , и . Тогда исходное неравенство можно переписать в виде . Разделим обе части неравенства на , получим: , , , домножим обе части неравенства на -1, получим . Данное неравенство решается методом введения новой переменной: , тогда неравенство примет вид . Решив квадратное неравенство относительно : методом интервалов, имеем систему решений . Но , значит, нам остается решить следующую решить систему неравенств (что то же ). Первое неравенство справедливо , т. к. , т. е. остаётся решить второе неравенство системы: Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов того же смысла . Ответ: .

№ 6. Решите задачу:

В процессе радиоактивного распада вещества его масса за равные промежутки времени меняется в одно и то же число. Существует такое понятие как период полураспада, это время за которое масса вещества уменьшается вдвое. Задача: в лаборатории имеется 512 грамм фосфора в начальный момент времени, известно, что период полураспада фосфора равен 3 минуты. А). Сколько грамм фосфора останется через 27 минут? Б.) Изобразите графически зависимость массы от времени.

Составим таблицу зависимости массы фосфора от времени. Известно, что каждые 3 минуты она уменьшается вдвое. То есть по прошествии 3-х минут какую массу будет иметь радиоактивное вещество?

- Масса фосфора уменьшится вдвое, т. е. грамм.

- Через 6 минут масса фосфора чему будет равна?

- Масса уменьшится ещё в два раза: грамм.

- Заметим, что . Сколько минут в данной задаче взяли за единицу измерения?

- 3 минуты.

- Если переходить к привычным нам единицам измерения, то это необходимо указывать в зависимости, то есть если у нас будет дан момент времени ( минут), то в записи функции зависимости массы необходимо помнить, что уменьшение вдвое происходит через 3 минуты, а не через 1. То есть было бы правильнее записать вычисление массы фосфора, относительно привычных единиц отсчета, к примеру: через 3 минуты масса фосфора равна , через 6 минут масса фосфора равна . При чем, как вы заметили в показателе дробь - знаменатель которой и фиксирует временной промежуток, называемый периодом полураспада. В числителе же стоит значение момента времени после начала отчета, соответственно 3 и 6 минут. Вернёмся к задаче. В какой же момент времени нам нужно найти массу фосфора, зная его период полураспада?

- Через 27 минут

- Используя наши рассуждения как можно её найти?

- Через 27 минут останется грамм фосфора.

- Это и есть ответ на вопрос задачи.

Но задача решена не полностью, нам необходимо ещё изобразить графически зависимость массы от времени представим, что нам надо вычислить массу распадающегося фосфора в произвольный момент времени (он может быть любым: отрицательным – до выбранного начала отсчета, дробным и иррациональным – время течёт непрерывно). Исходя из наших предыдущих рассуждений, какая функция описывает эту зависимость?

- грамм.

- Как она называется?

- Это показательная функция?

- Назовите основание данной показательной функции

- Основанием данной показательной функции является число

- Какими свойствами она обладает?

- 1.

2. не является четной, ни нечетной

3. убывает

4. не ограничена сверху, ограничена снизу осью абсцисс

5. не имеет не наибольшего, ни наименьшего значений

6. непрерывна

7.

- Заметим, что . Тогда как легче построить график этой функции?

- Сначала построим график функции , потом путём параллельного переноса перенести этот график на 9 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

На этом графике масштаб 1:1 не соблюден, здесь масштаб 1:10, но это не искажает сути зависимости. Мы видим как за короткий промежуток времени (около получаса) масса реактивного вещества резко уменьшается и стремится к нулю.

Не забудьте написать ответ на первый пункт вопроса задачи.

Ответ: а) 1 грамм.

4. Подведение итогов.

Цель: сформулировать итоги урока

Метод: беседа

- Сегодня мы повторили всю теорию по темам «показательная функция» и «показательные уравнения и неравенства» и прорешали задания аналогичные тем, что будут на контрольной работе. Всего будет 5 заданий по вариантам и одна общая задача, похожая на ту, что только сейчас разобрали.

5  Задание на дом

Цель: подготовиться к успешному написанию контрольной работы.

Метод: домашняя работа в тетради

- Запишите домашнее задание в тетрадь.

№ 1. Постройте график функции: .

№ 2. Решите уравнение: .

№ 3. Решите неравенство: .

№ 4. Решите уравнение: .

№ 5. Решите неравенство: . [6, 53]

Выполнение заданий:

№ 1. Постройте график функции: . Сначала построим график функции , потом путём параллельного переноса перенести этот график на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

- № 2. Решите уравнение: . Замечаем, что , тогда уравнение можно переписать в виде: . Решим его: ; , . Данное уравнение решается методом уравнивания показателей, т. е. . Ответ: .

№ 3. Решите неравенство: . Замечаем, что . Тогда исходное неравенство равносильно . Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов противоположного смысла . решая которое: , , , получаем ответ: .

№ 4. Решите уравнение: . Обращая внимание на то, что и исходное уравнение можно переписать в виде: , которое равносильно . Данное уравнение решается методом введения новой переменной: , тогда неравенство примет вид . Решив квадратное уравнение относительно , находим: , т. е. и . Но , значит, нам остается решить два уравнения: и (что то же ). Первое уравнение не имеет решения, так как , второе показательное уравнение решаем методом уравнивания коэффициентов, и получаем ответ: .

№ 5. Решите неравенство: . Замечаем, что и . Тогда исходное неравенство можно переписать в виде . Разделим обе части неравенства на , получим: , , , домножим обе части неравенства на -1, получим . Данное неравенство решается методом введения новой переменной: , тогда неравенство примет вид . Решив квадратное неравенство относительно : методом интервалов, имеем систему решений . Но , значит, нам остается решить следующую решить систему неравенств (что то же ). Первое неравенство справедливо , т. к. , т. е. остаётся решить второе неравенство системы: Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство функций равносильно неравенству аргументов того же смысла . Ответ: .