Лабораторная работа №2 «Полярная система координат»

Лабораторная работа №2 «Полярная система координат»

Цель работы: Ознакомиться с полярной системой координат. Изучить формулы, связывающие прямоугольные координаты Х и У точки М и ее полярные координаты.

Порядок выполнения работы.

1.  Записать уравнения кривой (если необходимо) в явном виде:

2.  Найти область определения функции , на основании чего сделать выводы о возможном расположении кривой.

3.  Составить таблицу значений . Придавая значения углов на области определения функции .

4.  Построить кривую в полярной системе по точкам с координатами

().

5.  Записать формулы, связывающие декартовы, полярные координаты. С помощью этих формул в уравнении кривой перейти к заданию в декартовых координатах.

Для определения координат в декартовой системе координат используются координатные оси. Однако в ряде случаев удобно в качестве координат использовать не метрические величины, а величины других размерностей, например, углы.

Полярная система координат ставит в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (ρ; φ). Основными понятиями этой системы являются точка отсчета – полюс – и луч, начинающийся в этой точке, – полярная ось. Координата ρ – расстояние от точки до полюса, координата φ – угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку, который берется со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «–» в противоположном случае. Важно понимать, что число φ в полярной системе определено не однозначно: парам чисел (ρ; φ + 2πn) соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ не определен.

Полярная система координат.

Полярные координаты легко преобразовать в декартовы. Пусть (x; y) – координаты точки в декартовой системе координат, (ρ; φ) – в полярной. Тогда очевидно, что

Формулы обратного перехода:

, , .

Следовательно, .

Пример. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ = 0 до φ = 2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало координат совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.

Решение: 1) Построим линию по точкам от φ = 0 до φ = 2π, придавая φ значения через промежуток .

Составим таблицу:

φ	r(φ)
00
22,50
450
67,50
900
112,50
1350
157,50
1800
202,50
2250
247,50
2700
292,50
3150
337,50
3600

Построим полученные точки в полярной системе координат (рис. 1).

Рис. 1.

2) Найдем уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс ОХ – с полярной осью р. Для этого воспользуемся формулами перехода к прямоугольной декартовой системе координат х = rcosφ, y = rsinφ, откуда r2=x2+y2, тогда подставим эти формулы в данное уравнение , получаем:

Возведем в квадрат обе части последнего равенства:

Разделим обе части последнего уравнения на 24336:

Полученное уравнение – уравнение эллипса с центром в точке А(5; 0), полуоси которого

Проверим r(-φ), зная, что cosφ=cos(-φ) :

Так как r(-φ)=r(φ), то данная линия будет симметрична относительно полярной оси р и достаточно найти r(φ) для углов от φ=0 до φ=π .

Задания для лабораторной работы

«Полярная система координат»

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  ;

9.  ;

10. 

11.  ;

12.  ;

13.  ;

14.  ;

15.  ;

16.  ;

17.  ;

18.  ;

19.  ;

20.  ;

21.  ;

22.  ;

23.  ;

24.  ;

25.  ;

26.  ;

27.  ;

28.  ;

29.  ;

30.  ;

31.  .

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38.