Задача 1

Задача 1

Проведите группировку и сводку материала, выделите 5 групп.

№	Работников в смену, чел.	Прибыль, млн. руб.	№	Работников в смену, чел.	Прибыль, млн. руб.
1	35	16,2	11	31	15,3
2	54	33,9	12	57	35,0
3	30	15,5	13	40	20,4
4	42	21,2	14	61	40,6
5	69	46,4	15	43	27,3
6	74	52,1	16	47	26,6
7	34	16,2	17	65	44,0
8	33	16,0	18	36	16,7
9	55	34,2	19	80	57,0
10	44	26,8	20	48	25,8

Решение.

1. Величина равного интервала рассчитывается по формуле

2. Группировка предприятий по численности работников с интервалом равном 10, будет выглядеть следующим образом (табл. 1).

Таблица 1 – Группировка предприятий по численности работников

Работников в смену, чел.	Количество предприятий в группе, ед.	Прибыль, млн. руб.
30-40	7	116,3
41-50	5	127,7
51-60	3	103,1
61-70	3	131
71-80	2	109,1
Итого	20	587,2

3. При решении данной задачи была использована сложная сводка, представляющая собой комплекс операций, включающих группировку единиц наблюдения, подсчет итогов по каждой группе и по всему объекту и представление результатов группировки и сводки в виде статистических таблиц.

Задача 2

Используя данные таблицы, определите средний возраст рабочих цеха

Возраст рабочих, лет	22-26	26-30	30-34	34-38	38-42
Кол-во рабочих, чел.	5	9	6	4	2

Решение.

1.  Нужно найти середину интервала в каждой группе по следующей формуле

2.  Исходные данные для расчета среднего возраста рабочих представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Распределение численности рабочих цеха по возрасту

Возраст рабочих, лет	24	28	32	36	40
Кол-во рабочих, чел.	5	9	6	4	2

3.  Средний возраст рабочих цеха рассчитывается по средней арифметической взвешенной.

`х = 30,3

Таким образом, средний возраст рабочих цеха составляет 30,3 года.

Задача 3

Определите долю рабочих в возрасте старше 32 лет

Возраст, лет	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40
Число рабочих, чел.	8	20	12	7	3

Решение.

1.  Необходимо произвести вторичную группировку рабочих по возрасту, выделив 2 группы: до 32 лет и старше 32 лет.

2.  После этого нужно найти структуру рабочих по возрасту (таблица 1).

Таблица 1 – Численность и структура рабочих по возрасту

Показатели	Возраст, лет	Всего
20-32	32-40
Число рабочих, чел.	40	10	50
Число рабочих, %	80	20	100

Вывод: доля рабочих в возрасте старше 32 лет составляет 20% от их общей численности.

Задача 4

Имеются данные о возрастном составе рабочих цеха (лет): 22,40,18,28,36,19,25,26,40,32,33,45,35,44,38,34,35,33,22,25,35,39,27.

Для анализа распределения рабочих цеха по возрасту постройте интервальный ряд распределения, выделив 5 групп и представьте ряд графически (полигон распределения).

Решение.

1. Величина равного интервала рассчитывается по формуле

Шаг округляем до 5. Группировку рабочих цеха по возрасту представим в виде таблицы 1.

Таблица 1 – Распределение численности рабочих цеха по возрасту

Возраст, лет	Численность рабочих, чел.
18-23	4
24-29	5
30-35	7
36-41	5
старше 41	2
итого	23

Для наглядности представим ряд распределения в виде гистограммы (рис. 1).

Рис. 1. – Распределение рабочих по возрасту, лет.

Задача 5

Используя данные таблицы, определите агрегатные цепные и базисные индексы цены и объема выпуска. Сделайте выводы.

Вид продукции	июнь	июль	август
вып	Цена, за ед.	вып	Цена, за ед.	вып	Цена, за ед.
А	30	16,0	42	14,5	50	14,0
В	120	54,0	136	48,6	116	64,0

Решение.

Базисным называется индекс, рассчитанный по отношению к базисному периоду. Цепным называется индекс, рассчитанный по отношению к предыдущему периоду.

Агрегатный индекс физического объема выпуска должен показать изменение количества проданных разнородных товаров, поэтому в числителе его берется отчетное количество товаров (q1), а в знаменателе — базисное (q0), т. е. индексируемый показатель изменяется, а взвешивание производится в одних и тех же ценах базисного период (p0):

.

Агрегатные индексы качественных показателей строятся при весах — объемных показателях отчетного периода. Так, агрегатный индекс цен по формуле немецкого экономиста Э.Пааше:

Промежуточные таблицы

Вид продукции	июнь	июль	Σ
Вып q0	Цена, за ед. p0	Вып q1	Цена, за ед. p1
А	30	16,0	42	14,5
В	120	54,0	136	48,6
Σ q0 p0					6960
Σ q1 p1					7218,6
Σ q1 p0					8016
Σ q0 p1					6267

Ip базисный (июнь-июль)= 7218,6/8016= 0,9

Iq базисный (июнь-июль) =8016/6960=1,15

Вывод: В июле по сравнению с июнем снижение цен привело к уменьшению выручки на 10%, а рост объема выпуска позволило бы увеличить выручку на 15%.

Вид продукции	июнь	август
Вып q0	Цена, за ед. p0	Вып q1	Цена, за ед. p1
А	30	16,0	50	14,0
В	120	54,0	116	64,0
Σ q0 p0					6960
Σ q1 p1					8124
Σ q1 p0					7064
Σ q0 p1					8100

Ip цепной (июнь-август)= 8124/7064= 1,15

Iq цепной (июнь-август) =7064/6960=1,02

Вывод: В августе по сравнению с июнем наблюдается рост выручки: за счет роста цен – на 15%, за счет увеличения объема выпуска - на 2%.

Вид продукции	июль	август
Вып q0	Цена, за ед. p0	Вып q1	Цена, за ед. p1
А	42	14,5	50	14,0
В	136	48,6	116	64,0
Σ q0 p0					6960
Σ q1 p1					8124
Σ q1 p0					6362,6
Σ q0 p1					9292

Ip цепной (июль-август)= 8124/6362,6= 1,28

Iq цепной (июль-август) =6362,6/6960= 0,91

Вывод: В августе по сравнению с июлем наблюдается рост выручки, который обеспечивался за счет роста цен – на 28%, а снижение объема выпуска уменьшило выручку на 9%.

Задача 6

Проведена 10%-ая простая случайная выборка. Из 50 рабочих, попавших в выборку,8 человек не выполняли норму выработки, а 5 человек- перевыполняли её.

Определите долю рабочих предприятия, не выполняющих норму выработки, гарантируя результат с вероятностью 0,966.

Решение.

1.  Находим генеральную совокупность N = 50:0,1=500

2.  Находим долю рабочих, предприятия, не выполняющих норму выработки (w). Она равна 0,16 (8:50) или 16%.

3.  Дисперсию доли можно определить следующим образом:

Она равна 0,16 (1-0,16)= 0,1344

4.  При вероятности 0,966 коэффициент доверия t = 2.

5.  Предельную ошибку выборки рассчитывают по следующей формуле:

Dw= 0,098 или 9,8%

6.  Доверительные интервалы признака в генеральной совокупности составят 16±9,8%.

Таким образом, с вероятностью 0,966 можно утверждать, что доля рабочих предприятия, не выполняющих норму выработки, в общем их числе, находится в пределах от 6,2 до 25,8 %.

Задача 7

Используя данные таблицы, проведите группировку, выделив 4 группы. Сделайте выводы.

№	Работников в смену, чел.	Прибыль, млн. руб.	№	Работников в смену, чел.	Прибыль, млн. руб.
1	35	16,0	6	38	16,0
2	40	18,0	7	34	16,0
3	30	15,0	8	33	16,0
4	42	18,0	9	36	16,0
5	37	17,0	10	31	15,0

Решение.

1. Величина равного интервала рассчитывается по формуле

2. Группировка работников по количеству работников в одной смене и полученной ими суммарной прибыли представлена в таблице 1.

Таблица 1 – Распределение суммарной прибыли в зависимости от числа работников, работающих в одну смену

Работников в смену, чел.	Количество случаев, ед.	Прибыль, млн. руб.	Средняя прибыль, млн. руб.
30-33	2	30	15
33-36	3	48	16
36-39	3	49	16,3
39-42	2	36	18

Вывод: Величина суммарной прибыли зависит от того числа рабочих, которые работают в смене. Так, при численности работников смену от 39 до 42 чел., в двух случаях, прибыль составила на 6 млн. руб. больше, чем в тех же двух случаях, когда в смену работало только 30-33 чел. Аналогичная зависимость наблюдается и в двух других группах, когда количество случаев в них составило по три. Так, при численности работников в смену 36-39 чел. Суммарная прибыль оказалась больше на 1 млн. руб. по сравнению с группой с численностью работников в смену 33-36 чел.

Если рассчитать среднюю прибыль, то видна прямая зависимость ее величины от числа работников в смену.

Задача 8

Численность работников на предприятии составляет 32 чел., из них руководителей – 6 чел., специалистов-10 чел., обслуживающий персонал-4 чел., остальные-рабочие.

Определите удельный вес рабочих, а также сколько руководителей находится на одного специалиста.

Решение.

Таблица 1 – Численность и структура работников предприятия

Категории работников	Чел.	%
Руководители	6	18,75
Специалисты	10	31,25
Обслуживающий персонал	4	12,5
Рабочие	12	37,5
всего	32	100

Удельный вес рабочих в общей численности работников предприятия составляет 37,5%.

Число руководителей, приходящихся на 1 специалиста, составляет (6:10)=0,6 человека.

Задача 9

Используя данные таблицы, определите моду и медиану графическими способами.

Разряд	2	3	4	5	6	7
Число рабочих, чел.	3	7	10	8	3	2

Решение.

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда.

Медиана - это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее.

Ме = 33: 2 = 16,5

Рис. 1 – Распределение рабочих по тарифным разрядам, чел.

На рисунке 1 видно, что наибольшее число работников имеет 4 тарифный разряд, поэтому мода – численность работников 4 разряда.

человек

 

разряд

Рис. 2 – Кумулята распределения рабочих по тарифным разрядам

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц совокупности, указывает, что точная середина находится между 16 и 17 рабочими. Необходимо определить, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Рабочих с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 3 человека, нет их и во второй группе (3+7=10). 16-й и 17-й рабочие находятся в третьей группе (3+7+10=20), следовательно, медианным является 4-й тарифный разряд.

Задача 10

Имеются данные о возрастном составе рабочих цеха (лет):18,39,28,29,26,38,34,22,28,30,22,23,35,33,27,24,30,32,28,25,29,26,31,24,29,27,32,25,29,29.

Для анализа распределения работников цеха по возрасту проведите проверку совокупности на однородность и нормальность распределения.

Решение.

Таблица промежуточных расчетов.

xi	fi	xifi	xi-`x	(xi-`x)2	(xi-`x)2 fi	fi с накоплением
18	1	18	-10,4	108,16	108,16	1
22	2	44	-6,4	40,96	81,92	3
23	1	23	-5,4	29,16	29,16	4
24	2	48	-4,4	19,36	38,72	6
25	2	50	-3,4	11,56	23,12	8
26	2	52	-2,4	5,76	11,52	10
27	2	54	-1,4	1,96	3,92	12
28	3	84	-0,4	0,16	0,48	15
29	5	145	0,6	0,36	1,8	20
30	2	60	1,6	2,56	5,12	22
31	1	31	2,6	6,76	6,76	23
32	2	64	3,6	12,96	25,92	25
33	1	33	4,6	21,16	21,16	26
34	1	34	5,6	31,36	31,36	27
35	1	35	6,6	43,56	43,56	28
38	1	38	9,6	92,16	92,16	29
39	1	39	10,6	112,36	112,36	30
	30	852			637,2

1. Находим среднюю.

`x =852:30=28,4

2. Находим среднее квадратическое отклонение

= 4,6

3. Совокупность считается однородной, если коэффициент ее вариации меньше 33%. 

Коэффициент вариации = 4,6:28,4 *100%= 16,2%

Таким образом, исследуемая совокупность является однородной.

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами - средней арифметической величиной и средним квадратическим отклонением.

На вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону может указывать близость значений моды, медианы и средней арифметической.

Мода = 29 лет.

Медиана = 29 лет.

`x =852:30=28,4.

Задача 11

На заводе с целью изучения производительности труда рабочих, было проверено 20%-е выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора.

Время обработки одной детали, мин.	18-20	20-22	22-24	24-26	26-28	28-30
Число рабочих	2	8	24	50	12	4

Определите доверительные интервалы доли рабочих, затрачивающих на обработку одной детали 26 мин. и более, в общем числе рабочих завода, гарантируя результат с вероятностью 0,958.

Решение.

Таблица промежуточных расчетов.

xi	fi	xifi	xi-`x	(xi-`x)2	(xi-`x)2 fi
19	2	38	-5,48	30,0304	60,0608
21	8	168	-3,48	12,1104	96,8832
23	24	552	-1,48	2,1904	52,5696
25	50	1250	0,52	0,2704	13,52
27	12	324	2,52	6,3504	76,2048
29	4	116	4,52	20,4304	81,7216
итого	100	2448			380,96

1.  Находим генеральную совокупность N = 100:0,2=500

2.  Находим долю рабочих, затрачивающих на обработку одной детали 26 мин. и более, в общем числе рабочих завода (w). Она равна 0,16 (16:100) или 16%.

3.  Дисперсию доли можно определить следующим образом:

Она равна 0,16 (1-0,16)= 0,1344

4.  При вероятности 0,958 коэффициент доверия t = 2.

5.  Предельную ошибку выборки рассчитывают по следующей формуле:

Dw= 0,065 или 6,5%

6.  Доверительные интервалы признака в генеральной совокупности составят 16±6,5%.

Таким образом, с вероятностью 0,958 можно утверждать, что доля рабочих, затрачивающих на обработку одной детали 26 мин. и более, в общем числе рабочих завода, находится в пределах от 9,5 до 22,5 %

Задача 12

Определите абсолютное и относительное изменение общей стоимости продукции базисным и цепным способами за весь рассматриваемый период, а также проведите проверку расчетов, используя взаимосвязь индексов

Месяц	01	02	03	04
Общ. стоимость продукции	326,52	358,04	336,54	342,01

Решение.

Месяц	01	02	03	04
Общ. стоимость продукции	326,52	358,04	336,54	342,01
Абсолютная разница базисная, ед.	-	31,52	10,02	15,49
Абсолютная разница цепная, ед.	-	31,52	-21,5	5,47
Индексы базисные	-	1,0965	1,0307	1,0474
Индексы цепные	-	1,0965	0,9399	1,0163

Абсолютная разница базисная показывает, на сколько единиц изменилась общая стоимость продукции во 2, 3, и 4 месяце по сравнению с 1 месяцем.

Абсолютная разница цепная показывает, на сколько единиц изменилась общая стоимость продукции в последующем месяце по сравнению с предыдущим.

Индексы базисные показывают, во сколько раз изменилась общая стоимость продукции во 2, 3, и 4 месяце по сравнению с 1 месяцем.

Индексы цепные показывают, во сколько раз изменилась общая стоимость продукции в последующем месяце по сравнению с предыдущим.

Взаимосвязь между индексами – произведение цепных индексов равно базисному индексу последнего месяца.

1,0965×0,9399×1,0163=1,0474