Задача №1

Задача №1.

Определение суммы, ее существование и единственность. Законы сложения

Вариант 1.

Объясните с теоретико-множественных позиций смысл равенств 2+4=6, 0+4=4.

Теоретическая база.

1.Теоретико-множественный смысл натурального числа:

Натуральное число а как характеристика количества – это:

1)  число элементов в множестве А, получаемое при счете, т. е. а = п (А), причем А равномощно отрезку натурального ряда чисел Nа;

2)  общее свойство класса конечных равномощных множеств.

2.Теоретико-множественный смысл нуля:

Нуль с теоретико-множественных позиций – это число элементов пустого множества, т. е

0 = п(∅).

3.Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел:

Суммой натуральных чисел a и b (с теоретико-множественных позиций) называют число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств A и B таких, что

a = n(А), b = n(В), т. е.

а + b = n (A) +n(B) = n (AB), если АВ = ∅

4. Теоретико-множественный смысл суммы нуля и натурального числа:

a = n(А), 0 = п(∅) и n (A ∅) = n (A) = а.

Решение.

1)  2+4=6.

2 – число элементов некоторого множества А: n(А) = 2, 4 - число элементов некоторого множества В: n(В) = 4, причем А и В не пересекаются: АВ = ∅ . Найдено число элементов в объединении этих множеств А и В: n (AB) = 6.

2)  0+4=4.

0 – число элементов пустого множества: 0 = п(∅), 4 - число элементов некоторого множества В: n(В) = 4. Найдено число элементов в объединении пустого множества с множеством В: n (∅ B) = 4.

Задача №2

Определение разности, ее существование и единственность. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа

.

Вариант 2. Составьте два простейших уравнения, в которых неизвестны слагаемое, уменьшаемое или вычитаемое. Причем первое уравнение должно иметь решение во множестве целых неотрицательных чисел, а второе – нет.

Теоретическая база.

1.Определение разности. Вычитанием натуральных чисел а и в называется операция, удовлетворяющая условию: а - в = с тогда и только тогда, когда в + с = а.

Число а – в называется разностью, а – уменьшаемым, в – вычитаемым.

2. Условие существования разности. Разность натуральных чисел а – в существует тогда и только тогда, когда в ˂ а.

Решение.

1)  Уравнения, в которых неизвестны слагаемые:

х + 12 = 20. Корень уравнения: х = 8.

20 + х = 15. Во множестве Z0 решения нет (х = - 5).

2)  Уравнения, в которых неизвестно уменьшаемое:

х – 5 = 7. Корень уравнения: х = 12.

х – 3 = 45. Корень уравнения: х = 48.

Уравнения такого вида будут иметь решение всегда, т. к. неизвестный компонент находится сложением, которое во множестве Z0 выполнимо всегда.

3)  Уравнения, в которых неизвестно вычитаемое:

12 – х = 4.Корень уравнения: х = 8.

2 – х = 12. Во множестве Z0 решения нет (х = - 10).

Задача №3.

Определение произведения, его существование и единственность. Законы умножения. Определение произведения через сумму.

Вариант 3. Может ли произведение двух целых неотрицательных чисел быть равным одному из них; каждому из них; нулю; единице?

Теоретическая база.

1.Множество целых неотрицательных чисел Z0 – это множество, полученное

объединением множества натуральных чисел N с множеством, состоящим из одного элемента 0: N{0} = Z0

Z0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

2.Определение произведения: Если a и b – целые неотрицательные числа, то произведением а∙b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1)  а∙b = а + а + а+ ... + а + а, если b ˃1.

b слагаемых

2)  а∙b = а, если b= 1

3)  а∙b = 0, если b= 0

Решение.

1)  Произведение двух целых неотрицательных чисел может быть равным одному из них в двух случаях:

§  если один из множителей равен 1. Согласно второму условию определения произведения целых неотрицательных чисел, а∙b = а, если b= 1.

Примеры: 7 ∙ 1 = 7, 4563 ∙ 1 = 4563.

§  если один из множителей равен 0. Согласно второму условию определения произведения целых неотрицательных чисел, а∙b = 0, если b= 0.

Примеры: 7 ∙ 0 = 0, 4563 ∙ 0 = 0.

2)  Произведение двух целых неотрицательных чисел может быть равным каждому из них в двух случаях, когда оба множителя равны 1 или оба множителя равны 0: Примеры. 1 ∙ 1 = 1 и 0 ∙ 0 = 0.

3)  Произведение двух целых неотрицательных чисел может быть равным нулю, если один из множителей равен 0. Согласно третьему условию определения произведения целых неотрицательных чисел, а∙b = 0, если b= 0.

Примеры: 7 ∙ 0 = 0, 4563 ∙ 0 = 0.

4)  Произведение двух целых неотрицательных чисел может быть равным единице, если оба множителя равны 1: 1 ∙ 1 = 1.

Задача №4

Определение частного целого неотрицательного числа на на­туральное, его существование и единственность. Теоретико-мно­жественный смысл правил деления суммы и произведения на число.

Вариант 4. Объясните выбор операции при решении задач. «Шесть кусков сахара разложили в стаканы с чаем, по 2 куска в каждый. На сколько стаканов хватило сахара?» «10 тетрадей раздали пяти ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик?»

Теоретическая база.

Данные задачи решаются с помощью деления. Различают деление по содержанию и деление на равные части.

Определение деления:

Если a = п (А) и множество разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b – число элементов в каждом подмножестве, то частное а:b – число таких подмножеств (деление по содержанию);

b – число подмножеств, то частное а:b - это число элементов в каждом подмножестве (деление на равные части).

Решение.

1.  Задача. Шесть кусков сахара разложили в стаканы с чаем, по 2 куска в каждый. На сколько стаканов хватило сахара?

Это задача на деление по содержанию. В ней рассматривается множество, в котором 6 элементов. Оно разбивается на подмножества по 2 элемента в каждом. Требуется узнать число таких подмножеств. Это число находится при помощи деления. 6 кусков разделим по 2 куска. Математической моделью задачи является частное 6:2. Вычислив значение выражения, найдем ответ: сахара хватило на 3 стакана.

2.  Задача. 10 тетрадей раздали пяти ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик?

Это задача на деление на равные части. В ней рассматривается множество, в котором 10 элементов. Множество разбивается на 5 равночисленных подмножеств. Требуется узнать число элементов в каждом подмножестве. Это число находится при помощи деления. 10 тетрадей разделим поровну на 5 частей. Математической моделью задачи является выражение 10:5. Вычислив значение частного, найдем ответ: каждый ученик получил 2 тетради.

Задача №5.

Отношения «больше», «меньше», «меньше или равно» и их свойства

Вариант 5. Докажите, что для целых неотрицательных чисел а и с справедливо неравенство а + с ³ а.

Теоретическая база.

1. Теоретико-множественный смысл суммы натуральных чисел:

Суммой натуральных чисел a и b (с теоретико-множественных позиций) называют число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств A и B таких, что

a = n(А), b = n(В), т. е.

а + b = n (A) +n(B) = n (AB), если АВ = ∅ (пустому множеству).

2. Теоретико-множественный смысл суммы нуля и натурального числа:

a = n(А), 0 = п(∅) и n (A ∅) = n (A) = а.

3.  Определение отношения «меньше». Число а меньше числа b (а ˂ b) тогда и только тогда, когда существует натуральное число с, такое что а + с = b. Эти же условия говорят, что число b больше а, т. е. b ˃ а.

Решение.

Пусть а, с.

Доказать: а + с ³ а.

Доказательство.

Рассмотрим два случая: с = 0 и с ≠ 0.

1)  с = 0. Тогда по определению суммы натурального числа и нуля: а + 0 = а.

Если а = 0, то 0 + 0 = 0.

Получили, при с = 0 выполняется равенство: а + с = а.

2)  с ≠ 0, тогда с и а + с = b.

Согласно определению отношения «больше», если а + с = b, то b ˃ а или а + с ˃ а.

Получили, при с ≠ 0 выполняется неравенство: а + с ˃ а.

Из полученных выводов: а + с = а и а + с ˃ а заключаем: а + с ³ а. Что и требовалось доказать.

Задача №6.

Аксиомы Пеано. Определение целого неотрицательного чис­ла.

Вариант 6. Дано множество А={◘, ◙, ☺, ☻, ☼, ♀, ♂, ♠, ♣, ♥, ♦, ♪,…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Сравните следующие натуральные числа ☺ и ☻ ☼ и ♠ ♦ и ♀ Теоретическая база. 1. Определение отношения «больше» («меньше»). Число а больше числа b (а ˃ b) тогда и только тогда, когда существует натуральное число с, такое что а = b + с. При этих же условиях говорят, что b меньше а (b ˂ а). 2. Система аксиом Пеано. 1)  В качестве основного понятия в системе аксиом Пеано взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на N. 2)  Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а'. 3)  Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрыта в аксиомах: А.1. Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Его называю единицей и обозначают 1. А.2. Для каждого элемента а из множества N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а. А.3. Для каждого элемента а из множества N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. А.4. Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами: 1) 1 М 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М, совпадает с множеством N. Решение. 1)  ☺ ˂ ☻, т. к. ☺ является предшествующим для ☻, т. е. ☻ = ☺+ 1. Нашлось натуральное число 1, что равенство ☻ = ☺+ 1 верно, тогда ☺ ˂ ☻. 2)  ☼ ˂ ♠, т. к. ♠ = ☼ + 3. 3)  ♦ ˃ ♀, т. к. ♦ = ♀ + 5.

Задача №7.

Определение целого неотрицательного чис­ла, сложение и вычитание целых неотрицательных чисел с точки зрения аксиоматического подхода.

Вариант 7. Докажите, что для любого целого неотрицательного числа а верны равенства:

a.  а+1=1+а

b.  а+0=0+а

c.  а+с=е+с Þ а=е (сократимость сложения)

Теоретическая база.

1)  Определение сложения:

Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

1)

2)

2)  Теоремы о сложении в аксиоматической теории натуральных чисел:

1) Сложение натуральных чисел существует и единственно.

2) Свойство ассоциативности сложения:

3) Свойство коммутативности сложения:

4) Об отсутствии нейтрального элемента (нуля) для операции сложения во множестве натуральных чисел: b

Решение.

1.  Объединим множество натуральных чисел с множеством, состоящим из одного элемента 0: N{0} = Z0 (целых неотрицательных чисел).

Запишем полученное множество: Z0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

2.  Рассмотрим, выполняются ли аксиомы Пеано на этом множестве.

1)  Элементом, непосредственно не следующим ни за каким элементом этого множества является число 0. Аксиома 1 выполняется. Роль 1 выполняет 0.

2)  Для элемента 0 существует единственный элемент 1, следующий за ним. Для элемента 1 – единственный следующий за ним элемент 2, для 2 – 3 и т. д. Аксиома 2 выполняется.

3)  Для каждого элемента существует не более 1 элемента, за которым он непосредственно следует. Предшествующим для элемента 3 является единственный элемент 2, для 2 – единственный элемент 1, для 1 – единственный элемент 0. Для элемента 0 предшествующих элементов нет, что соответствует условию не более 1, (1 элемент или 0 элементов). Аксиома 3 выполняется.

4)  Составим подмножество М из данного с выполнением условий: 1) 1 М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М:

Включаем в подмножество элемент 1, т. е. 0, следовательно, по условию 2 в это подмножество входит элемент 1, как следующий за ним. Наличие элемента 1 влечет, по условию 2, включение в подмножество элемента 2. И т. д. Получили подмножество М, состоящее из элементов 0, 1, 2, 3, …, т. е М совпадает с данным Z0. Аксиома 4 выполняется.

Вывод. Множество Z0 является моделью множества чисел, удовлетворяющей аксиомам Пеано.

Доказательство а+1=1+а.

При а для множества Z0 выполняется в силу того, что для натуральных чисел выполняется свойство коммутативности N является подмножеством Z0.

При а = 0 в равенство 0 + 1 =1 +0 входят конкретные числа Z0, в котором закон коммутативности выполняется, т. к. Z0 по доказанному выше является моделью множества чисел, удовлетворяющей аксиомам Пеано

Доказательство а+0=0+а.

Получили: 0 Z0, а Z0, и Z0 является моделью множества чисел, удовлетворяющей аксиомам Пеано. Т. к. в аксиоматической теории множества чисел, удовлетворяющей аксиомам Пеано, сложение обладает свойством коммутативности, то а+0=0+а

Доказательство а+с=е+с Þ а=е.

Учитывая, что во множестве чисел, удовлетворяющем аксиомам Пеано, каким является Z0, выполняется свойство монотонности сложения, а именно:

a = b a + c = b + c,

a < b a + c < b + c,

a > b a + c > b + c,

докажем методом от противного.

1.Пусть ае, тогда a > е или a < е.

2.Рассмотрим оба случая:

Если a > е, то по свойству монотонности суммы получим:

a > е a + c > е + c, что противоречит условию а+с=е+с.

Если a < е, то по свойству монотонности суммы получим:

a < е a + c < е + c, что тоже противоречит условию а+с=е+с.

3.Допущение приводит к противоречию, следовательно, оно неверное, а это значит, а=е.

Что и требовалось доказать.

Задача №8.

Определение целого неотрицательного чис­ла, умножение и деление целых неотрицательных чисел с точки зрения аксиоматического подхода.

Вариант 2. Докажите левый дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

Теоретическая база.

1. Суммой натуральных чисел a и b (с теоретико-множественных позиций) называют число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств A и B таких, что

a = n(А), b = n(В), т. е.

а + b = n (A) +n(B) =n (AB), если АВ = ∅.

2. Произведение целых неотрицательных чисел a и b (с теоретико-множественных позиций) есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что a = n(А), b = n(В).

а ∙ b = n (A) ∙ n(B) =n (A Х B)

3.  Система аксиом Пеано.

1)  В качестве основного понятия в системе аксиом Пеано взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на N.

2)  Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а'.

3)  Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрыта в аксиомах:

А.1. Во множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Его называю единицей и обозначают 1.

А.2. Для каждого элемента а из множества N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

А.3. Для каждого элемента а из множества N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

А.4. Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами:

1) 1 М

2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М, совпадает с множеством N.

4.  Умножением натуральных чисел (в аксиоматическом подходе) называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

1)

2)

5. Правый и левый дистрибутивные законы умножения натуральных чисел относительно сложения:

Решение.

1 способ (с теоретико-множественных позиций)

Дано: .

Доказать:

Доказательство.

(а + b)∙с = n . Декартово произведение множеств относительно объединения дистрибутивно, следовательно, (а + b)∙с = . Что и требовалось доказать.

2 способ (в аксиоматической теории)

Дано: .

Доказать:

Доказательство.

1.Пусть натуральные числа с и b выбраны произвольно, а принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех натуральных чисел а, для которых верно равенство.

Докажем, что т. е. равенство 1∙(b+ с) = 1∙b + 1∙с истинно. В силу коммутативности умножения и согласно свойству 1 определения умножения, получим: (b+ с)∙1= b + с = b∙1 + с∙1. По свойству коммутативности умножения, получим: b∙1 + с∙1 = 1 ∙ b + 1∙ с = 1∙ (b + с).

Докажем, что если , то , т. е. что из равенства следует равенство . Используя свойство коммутативности умножения, перепишем: и докажем . По определению умножения имеем: (b∙a + c∙a) + (b+c). Используя ассоциативное и коммутативное свойство сложения, преобразуем.

(b∙ a + c∙a) + (b +c) = (b∙ a + c∙a + b) + c = ((b∙ a + b)+ c∙a)+ c = (b∙ a + b)+ (c∙a + c) .

По определению умножения получим: b∙ a + b = b∙a׳, c∙a + c = c∙a׳.

Или (b∙ a + b)+ (c∙a + c) = b∙a׳ + c∙a׳.

Применяя закон коммутативности умножения, a׳ ∙ b+ a׳ ∙ c.

Получили, что множество М содержит 1, и из того, что содержит а, следует, что а׳ содержится в М. По аксиоме 4 системы аксиом Пеано получаем, что М = N. Это означает, что равенство верно для любых натуральных с и b, поскольку они были взяты произвольно.

Задача №9.

Натуральное число как мера отрезка. Определение арифметичес­ких действий над числами, рассматриваемыми как меры отрезков.

Вариант 2. Как изменится численное значение величины, если единицу измерения увеличить в 2 раза; уменьшить в 2 раза; увеличить в 10 раз?

Теоретическая база.

1)  Умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b - мера длины Е при единице длины Е1, то произведение а ∙ b - это мера длины отрезка х при единице длины Е1:

а ∙ b = .

1)  Деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b - мера длины Е при единице длины Е1, то частное а : b - это мера длины отрезка х при единице длины Е1:

а: b = .

Решение.

1)  Если единицу измерения увеличить в 2 раза, численное значение величины уменьшится в 2 раза. Например, 8 штук носков можно измерить в парах носков. Будет 4 пары. Новая единица измерения (пара) больше старой (штуки) в 2 раза, или 1 штука – это пары. Следовательно, 8 носков = 8 ∙ 1 штуку = 8 ∙ пары = (8 ∙) пары = (8 : 2) = 4 пары.

2)  Если единицу измерения уменьшить в 2 раза, то численное значение величины увеличится в 2 раза. Например, 6 пар варежек можно сосчитать в штуках, будет 12 варежек. Новая единица измерения штука меньше старой (пары) в 2 раза, или пара – это 2 штуки. Следовательно, 6 пар = 6 ∙ 1 пару = 6 ∙ 2 штуки = 12 штук = 12 варежек.

3)  Если единицу измерения увеличить в 10 раз, численное значение величины уменьшится в 10 раз. Например, если длина отрезка равна 40 см, то в дм, единице измерения длины, в 10 раз большей, чем см, длина отрезка будет равна 4 дм.

1 см = дм, тогда 40 см = 40 ∙ 1 см = 40 ∙ дм = (40 ∙ ) дм = 40 : 10 дм = 4 дм.

Задача №10

Понятие системы счисления. Непозиционные и позиционные системы счисления.

Вариант 8. Подберите исторический материал по теме «Первый русский учебник по арифметике и его роль в распространении десятичной системы счисления на Руси»

Первый русский печатный учебник математики –

«Арифметика, сиречь наука числительная» .

В России существовала алфавитная непозиционная нумерация, в которой каждому числу ставилась в соответствие славянская буква с титлом. В эпоху реформ Петра Первого пришла и десятичная система, в то время уже распространенная в Европе. Написать учебник по математике было поручено преподавателю Навигацкой школы Магницкому Леонтию Филипповичу (1669 - 1739).

родился в семье крестьянина, самоучкой выучился грамоте. В 15 лет был послан в монастырь в Москву. В 1685-1694 годах учился в Славяно-греко-латинской академии, работал учителем, учил детей немецкому, голландскому, итальянскому языкам и математике.

В 1703 году Магницкий разработал рукописный курс по геометрии, тригонометрии и кораблевождению и выпустил в свет первый русский учебник по математике «Арифметика, сиречь наука числительная» тиражом 2400 экземпляров.

Учебник содержит более 600 страниц и включает в себя как самые начала - таблицу сложения и умножения чисел в десятичной системе, так и приложения математики к навигационным наукам. Магницкий учит Россию десятичному исчислению. Что интересно, он приводит таблицу сложения и умножения не в том виде, как её принято было издавать на последней страничке 12-листовой тетради, а только её половину. Т. е. коммутативность этих операций давалась сразу.

«Арифметика» Магницкого до середины 18 века была основным учебником математики в России. Наряду с систематическим изложением курса математики значительное внимание уделяется общим рассуждениям на математические темы, изложенным в стихотворной форме; в тексте помещены также символические картинки. В книге строго и последовательно проводится одна форма изложения: каждое новое правило начинается с простого примера, затем даётся его общая формулировка, потом приводятся задачи на закрепление.

Магницкий сознавал, что математика в то время была нужна как орудие практической деятельности, поэтому все основные понятия излагаются в книге так, что ассоциируются с привычными житейскими образами, каждая задача имеет практическое значение.

Благодаря научным, методическим и литературным достоинствам «Арифметика» Магницкого спустя десятки лет, даже после появления других книг, более соответствующих новому уровню науки, продолжала пользоваться большим успехом. Содержание книги значительно шире её названия - «Арифметика». Помимо простого изложения арифметики, в ней содержатся необходимые для практики сведения по алгебре, приложения арифметики и алгебры к геометрии, практическая геометрия, понятия о вычислении тригонометрических таблиц и о тригонометрических вычислениях вообще, начальные сведения по астрономии, геодезии и навигации.

Магницкий сознавал, что наука важна в первую очередь как орудие практической деятельности; это обстоятельство оказало существенное влияние на характер изложения, которое построено таким образом, чтобы читатель постоянно чувствовал, что сообщенные ему теоретические знания необходимы в его настоящей или будущей деятельности. Многие сведения из областей знания, охватываемых «Арифметикой», сообщались Магницким впервые в русской литературе. Книга Магницкого сыграла большую роль в распространении математических знаний в России, по ней учился , который назвал арифметику «вратами учености».

«Арифметика» Магницкого сыграла большую роль в становлении математической науки и распространении математических знаний в России. Она являлась скорее энциклопедией математических знаний, чем учебником, многие помещенные в ней сведения сообщались впервые в русской литературе.