Глава 6. Двумерные случайные величины

Глава 6. Двумерные случайные величины.

6.1. Понятие двумерной случайной величины и закон ее распределения.

Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х1 – температура, Х2 – давление, Х3 – влажность воздуха, Х4 – скорость ветра.

В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин .

Рассмотрим двумерную случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости .

Если составляющие Х и Y – дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y – непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение xi, а составляющая Y – значение yj.

Таблица 6.1.1.

Y X	y1	y2	…	yj	…	ym
x1	p11	p12	…	p1j	…	p1m
x2	p21	p22	…	p2j	…	p2m
…	…	…	…	…	…	…
xi	pi1	pi2	…	pij	…	pim
…	…	…	…	…	…	…
xn	pn1	pn2	…	pnj	…	pnm

Так как события , составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т. е.

. (6.1.1)

Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y.

Пример 6.1.1. Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.

Таблица 6.1.2.

Y X	2	5	7
-1	0,11	0,13	0,23
3	0,1	0,12	0,09
4	0,11	0,08	0,03

Решение. Так как

-1	3	4
0,47	0,31	0,22

, то проводя суммирование по строкам таблицы 6.1.2 получим распределение Х:

Аналогично суммируя по столбцам, получим распределение Y:

2	5	7
0,32	0,33	0,35

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например , то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y.

Пример 6.1.2. По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии ; б) условный закон распределения Y при условии, что .

Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам

, . (6.1.2)

Тогда

а) , ,

.

Условный закон распределения Х при условии имеет вид

-1	3	4
0,394	0,364	0,242

Контроль: .

б) Аналогично находим условный закон Y при условии .

2	5	7
0,5	0,364	0,136

Контроль: .

Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее y:

. (6.1.3)

Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).

y

x

-

Рис. 6.1.1.

Отметим свойства .

1. Область значений функции - , т. е. .

2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.

3. Имеют место предельные соотношения:

; ; ; .

При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х, т. е.

.

Аналогично, .

Зная , можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD (рис. 6.1.2).

y

B(x1,y2) C(x2,y2)

A(x1,y1) D(x2,y1)

x

Рис. 6.1.2.

А именно,

=. (6.1.3)

Пример 6.1.3. Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения

Y X	0	1	3
-1	0,17	0,11	0,09
1	0,27	0,10	0,26

Найти функцию распределения .

Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j, для которых , . Тогда, если и , то (события и - невозможны). Аналогично получаем:

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то .

Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений :

при
	0	0	0	0
	0	0,17	0,28	0,37
	0	0,44	0,65	1

Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности

. (6.1.4)

Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве (рис. 6.1.3).

 

Рис. 6.1.3

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. Функция распределения может быть выражена через по формуле

. (6.1.5)

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна

. (6.1.6)

5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:

(6.1.7)

(6.1.7)

(6.1.8)

(6.1.9)

Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины

.

Найти: 1) двумерную плотность вероятности ; 2) вероятность попадания случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми , , , .

Решение. 1) Так как , то дифференцируя сначала по : , а затем по : , получим

.

2) Используя формулу (6.1.3) и рис. 6.1.4, получим .

y

(0,1) (4,1)

(0,0) (4,0) х

Рис. 6.1.4.

По аналогии с условными вероятностями вводятся условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины , а именно

- (6.1.10) условная плотность распределения Х при заданном значении ;

- (6.1.11) условная плотность распределения Y при заданном значении .

Если случайные величины X и Y независимые, т. е. закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение принимает вторая величина, то условные и безусловные законы Х и Y совпадают. В частности, и . Таким образом, для независимых составляющих Х и Y двумерная плотность вероятности находится следующим образом

(6.1.12) и функция распределения имеет вид

. (6.1.13)

Заметим, что если имеют место соотношения (6.1.12) или (6.1.13), то составляющие Х и Y – независимые случайные величины.

Если составляющие Х и Y дискретной случайной величины – независимые случайные величины, то

, (6.1.14) где , , , .

Пример 6.1.5. Законы плотности распределения независимых составляющих Х и Y:

Найти: 1) плотность совместного распределения; 2) функцию распределения системы .

Решение. 1) В силу независимости составляющих Х и Y плотность совместного распределения

при и

при или .

2) Найдем и .

.

Аналогично .

Тогда при , ,

при или .

6.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины.

При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики составляющих:

, , , , где

(6.2.1)

для дискретных составляющих X и Y и

(6.2.2)

в случае непрерывных составляющих.

Упорядоченную пару чисел называют математическим ожиданием двумерной случайной величины, а - ее дисперсия.

Отмеченные выше числовые характеристики не определяют степень зависимости составляющих X и Y. Эту роль выполняют корреляционный момент (иначе: ковариация ), который определяется следующим образом:

. (6.2.3)

Для дискретных случайных величин

(6.2.4)

Для непрерывных случайных величин

(6.2.5)

Корреляционный момент можно вычислить по формуле (6.2.6)

. (6.2.6)

Если Х и Y независимы, то . Если , то Х и Y зависимые случайные величины.

В случае случайные величины X и Y называют некоррелированными, при этом она могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Ковариация X и Y характеризует не только степень зависимости случайных величин, но и их рассеяние вокруг точки . Кроме того, - размерная величина, что затрудняет ее использование для оценки степени зависимости для различных случайных величин.

Для оценки зависимости вводится коэффициент корреляции

, (6.2.7) где и - среднеквадратические отклонения X и Y.

Коэффициент корреляции - безразмерная величина, обладающая следующими свойствами:

1. - ограниченная величина, а именно .

2. Если X и Y – независимые случайные величины, то .

3. Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью , то и наоборот.

Из последнего свойства можно сделать вывод: коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости случайных величин X и Y.

Пример 6.2.1. В урне содержится 4 белых и 2 черных шара. Из нее извлекают 2 шара без возвращения. Пусть X – число извлеченных белых шаров, Y – число извлеченных черных шаров. Составить закон совместного распределения двумерной случайной величины и найти коэффициент корреляции .

Решение. Как Х, так и Y могут принимать значения 0; 1; 2. Вычислим соответствующие вероятности.

, , .

X Y	0	1	2
0	0	0	0,4
1	0		0
2		0	0

Очевидно, что ,

,

,

,

.

Составим распределения X и Y.

X	0	1	2
pi			0,4

Y	0	1	2
pj	0,4

Найдем , .

Вычислим .

Вычислим и .

.

Вычислим .

Следовательно, Х и Y связаны линейной зависимостью.

Пример 6.2.2. Плотность совместного распределения случайных величин Х и Y задана формулой

.

Найти: 1) коэффициент с; 2) безусловные и условные плотности распределения Х и Y; 3) , ; 4) ковариацию Х и Y.

Решение. Так как , то вычислив =, получим и .

Найдем и

.

Условный закон распределения Х

.

Аналогично,

.

Вычислим и .

.

Аналогично .

Вычислим .