ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Спецкурс программы специалитета, полугодовой: Свойства функциональных интегралов.
2. Преподаватель: проф. .
3. Аннотация курса: Интегрирование в бесконечномерных пространствах, преобразования функциональных интегралов, асимптотические разложения фейнмановских интегралов, представления решений дифференциальных уравнений посредством функциональных интегралов, их приложения в математической физике.
4. Тематическое содержание курса:
Тема 1 | Предварительные сведения. Обобщенные меры. |
Тема 2 | Различные определения функциональных интегралов. |
Тема 3 | Нахождение функциональных интегралов посредством преобразования Фурье. |
Тема 4 | Классы интегрируемых функционалов по обобщенной мере Фейнмана. |
Тема 5 | Теорема Вика. |
Тема 6 | Диаграммная техника Фейнмана для вычисления интегралов по траекториям. |
Тема 7 | Применение фейнмановских диаграмм в теории возмущений. |
Тема 8 | Формула Троттера и теорема Чернова. |
Тема 9 | Представление решения уравнения Шредингера в виде интеграла по траекториям в конфигурационном пространстве. |
Тема 10 | Решение уравнения Шредингера с помощью интегралов по траекториям в фазовом пространстве. |
Тема 11 | Перепараметризация в интегралах по траекториям. |
Тема 12 | Нелинейные преобразования в функциональных интегралах. |
Тема 13 | Возникновение разрывных траекторий при нелинейных преобразованиях. |
Тема 14 | Асимптотические свойства интегралов по траекториям. |
Тема 15 | Квазиасимтотические разложения интегралов по траекториям. |
Тема 16 | Приближенные вычисления функциональных интегралов. |
Тема 17* | Нахождение функциональных интегралов методом Бореля. |
* - если специальный курс читается в нечетном семестре (продолжительность нечетного семестра 18 недель, четного семестра 17 недель).
5. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Вопросы к экзамену:
1) Определение обобщенной меры. Преобразование Фурье для обобщенных мер.
2) Определения секвенциальных функциональных интегралов.
3) Определения аналитических функциональных интегралов.
4) Определение функциональных интегралов с помощью равенства Парсеваля. Обобщённая мера Фейнмана.
5) Связь секвенциальных и аналитических функциональных интегралов.
6) Классы интегрируемых функционалов по обобщенной мере Фейнмана.
7) Теорема Вика для интегралов Фейнмана. Диаграммы Фейнмана.
8) Применение фейнмановских диаграмм в теории возмущений для функциональных интегралов.
9) Формула Троттера.
10) Теорема Чернова.
11) Представление решение уравнения Шредингера с помощью интегралов по траекториям в конфигурационном пространстве.
12) Решение задачи Коши для уравнения Шредингера в виде интеграла по траекториям в фазовом пространстве.
13) Квазиасимтотические разложения интегралов по траекториям.
14) Преобразования функциональных интегралах.
15) Приближенные вычисления функциональных интегралов.
16) Нахождение функциональных интегралов методом Бореля.
Текущий контроль – задачи для самостоятельного решения, 10 неделе:
1) Вычислить интеграл по мере Фейнмана от квадрата скалярного произведения функции на себя в L2.
2) Привести все диаграммы Фейнмана для трех однородных полиномов четвертого порядка.
3) Выписать все диаграммы Фейнмана для трех первых членов разложения по теории возмущений от логарифма интеграла экспоненты от однородных полиномов четвертого порядка по обобщенной мере Фейнмана.
4) Написать формулу следа к обратному оператору Шредингера с потенциалом в виде фейнмановского интеграла по траекториям.
5) Привести классы функционалов, для которых секвенциальные и аналитические функциональные интегралы совпадают.
6) Написать представление решения уравнения Шредингера с ограниченным потенциалом с помощью интегралов по траекториям и найти его представление в импульсном пространстве.
6. Перечень основной и дополнительной учебной литературы:
1. , , Континуальные интегралы, 2015, URSS Москва, ISBN 978-5-9710-2133-9, 336 с.
2. , , Вычисление функциональных интегралов с помощью сходящихся рядов, 1999, Фундаментальная и прикладная математика, том 3, № 3, с. 693-713.
3. , , Формулы Фейнмана для решений бесконечномерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами 2003, Доклады Академии наук, издательство Наука (М.), том 390, № 3, с. 321-324 .
4. Го Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах, М.: Мир. 1979. — 175 с.
7. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»: www. mathnet. ru
Программа утверждена на заседании кафедры математического анализа
Протокол № 6 от 17 декабря 2014 г.
