М. В. ЕРМАКОВ, В. Н. НИКОЛАЕНКО, М. В. НИКОЛАЕНКО

ПОДГОТОВКА К КОМПЬЮТЕРНОМУ ЭКСПЕРИМЕНТУ

В ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКЕ

При проведении компьютерного эксперимента важно не только сформулировать задачу, которая ставиться перед исследователем (студентом), но и предложить студенту самому определить ту часть задачи, решение которой целесообразно предоставить компьютеру.

Как правило, при исследовании физического явления приходиться сталкиваться с массой разнообразных эффектов, с которыми важно было бы разобраться, прежде чем приступать к численным расчетам на компьютере, так как иначе задача расчета могла бы чрезвычайно усложниться.

Таким образом, после постановки физической проблемы, необходимо предварительно разобраться с ней теоретически и лишь после этого вычленить ту область исследований, анализ которых целесообразно переложить на плечи компьютера или аналоговой физической модели.

Кроме того, целесообразно организовать дополнительный компьютерный эксперимент, который позволил бы дать вспомогательную информацию, облегчающую решение основной проблемы.

Поясним эту мысль на примере анализа процесса наведения зарядов в системе проводников и зарядов.

Требуется выяснить, как ведет себя заряд, наведённый на «заземленном» плоском электроде Э1 площадью S0, «влияющим» зарядом q, помещённом на сферическом металлическом электроде Э2 площадью Sq при перемещении относительно этих электродов плоского электрически нейтрального электрода Э3 площадью S0 (рис. 1.2). Необходимо также определить изменение энергии данной системы. Это основная задача исследования. Для более глубокого анализа проблемы надо решить и дополнительную задачу, когда электрод Э3 имеет нулевой потенциал (рис. 1.1). Расстояние между электродами Э1 и Э2 Zp, а между Э2 и Э3 равно h.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Рис. 1

Данные две задачи можно решать разными способами, однако мы предлагаем использовать единый, хотя и более сложный (громоздкий), подход, основанный на использовании уравнений Грина, так как это позволяет: активизировать знания всех фундаментальных определений электростатики, облегчить проведение сравнительного анализа физических процессов, найти новые подходы для решения физических задач.

Рассмотрим второе уравнение Грина:

С помощью этого уравнения мы можем решить задачу для поля φ с помощью другой с условиями для потенциала ψ. Хорошо известны в качестве ψ функции Грина, функции Шокли-Рамо. Мы предлагаем использовать несколько вспомогательных функций, позволяющих свести решения поставленных задач к совокупности более простых.

На рис.2 представлены три вида систем для вспомогательных функций ψ, ξ и μ.

2.1 Вспомогательная система с граничными потенциалами ψ

2.2 Вспомогательная система с граничными потенциалами ξ

2.3 Вспомогательная система с граничными потенциалами ψ

Рис. 2

Для этих вспомогательных функций уравнения Грина имеют вид:

(1)

Во всех системах рис. 1 и рис. 2 окружим электроды Э1, Э2 и Э3 поверхностями S1, S2 и S3 и применим уравнения (1) для объёма V ограниченного этими поверхностями. В таком случае все функции φ, ψ, ξ и μ будут удовлетворять уравнениям Лапласа и тогда система (1) преобразуется к виду

(2)

В (2) – нормаль к Si внешняя по отношению к электроду, окруженному данной поверхностью.

Применим систему (2) для решения дополнительной задачи.

Для определения заряда qн1, наведенного на первом электроде, воспользуемся формулой (2.1), в которой потенциал ψ является вспомогательной функцией Шокли-Рамо. Подставляя в данную формулу граничные условия а также теоремы Остроградского-Гаусса и получим выражение теоремы Шокли-Рамо для наведённого заряда: (3)

Используя граничные условия для φ и ξ нетрудно получить формулу:

Для дальнейшего упрощения будем считать, что система электродов (1-3) представляет плоский конденсатор. В таком случае для рис.2.1 и рис.2.2 получим решения для ψр и ξр и соответственно для qн1 и qн3

(4)

Величина заряда наведённого на части 1-го электрода, площадью Sk1 равна:

Вторым вопросом первой задачи является определение поведения энергии в системе рис. 1.1 при возрастании h.

Энергия в данной системе определяется из формулы:

(5)

Для того, чтобы найти значение φp рассмотрим уравнение (2.3). За счет граничных условий для φ и μ на первом и третьем электродах интегралы с индексом i=1 и 3 обращаются в ноль. В связи с этим уравнение (2.3) принимает вид:

Принимая в расчёт граничное значение μ2=1, а также теоремы Остроградского-Гаусса: получим, что . Но , где С20 суммарная емкость параллельно соединенных емкостей С21 и С23, следовательно: .

Таким образом, получаем выражение для энергии системы рис.1.1:

(6)

В (6) ёмкость С21 = const. Вид выражения для W позволяет сделать важные выводы о знаках наведенных зарядов. Так как емкость С23 c уменьшением расстояния h увеличивается, то энергия W уменьшается, т. е. предоставленный самому себе третий электрод приближается к заряду q, что указывает на то, что на электродах Э3 и Э1 наводятся заряды, противоположные по знаку заряду q.

Приступим к решению основной задачи.

В соответствии с рис.1.2 – 2.1. и рис.2.2.-2.3 на поверхностях S1, S2, S3 выполняются граничные условия: φ1=0; φ2 = const; φ3 =φ(l); ψ1 =1; ψP=const; ψ3 =0, а также ξ1=0; ξP=const; ξ3 =1.

При подстановке данных граничных условий в (2.1) и (2.2) с учетом уравнений Остроградского-Гаусса

получим соотношения:

(7)

Избавляясь в (7) от φ3 , получим выражение для заряда, наведенного на 1-ом заземленном электроде исследуемой системы (рис.1.2):

(8)

В случае вспомогательных функций, представленных на рис.2.1 и рис2.2 интегралы в (8) равны по величине и противоположны по знаку, значит (8) имеет вид: (9)

Подставляя в (9) выражения для ψp и ξp из (4.1) и (4.2) получим:

Получается, что при перемещении нейтрального проводника заряд, наведённый на первом проводнике, не меняется. Почему? Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим выражение для энергии системы (5).

Для вычисления φq найдем решение выражения (2.3). Принимая во внимание граничные условия для φ и μ получим соотношение:

(10)

Подставляя в (10) выражение для φ3 из (7.2) будем иметь:

(11)

Исходя из определений частичных и полных ёмкостей [1] получаем зависимости:

(12)

Ёмкость С13(ξ) является, фактически, конденсаторной ёмкостью, равной

. (13)

Подставим (4.2), (12) и (13) в (11). Получим:

После несложных преобразований и подстановки выражения для φр в (5) получим формулу для определения энергии системы с нейтральным проводником:

(14)

где

В (14) параметры α и С21(μ) являются константами, определяющими геометрию неподвижной части системы. Переменной величиной является частичная ёмкость С23(μ), она монотонно уменьшается с ростом h. В рассматриваемом нами случае При этом условии:

(15)

Из (15) следует, что с уменьшением h энергия системы уменьшается, что совпадает с аналогичным выводом для случая, когда подвижный электрод имеет нулевой потенциал.

Последний вывод заставляет задуматься о том, почему при изменении энергии системы заряд, наведенный на неподвижном электроде, не изменяется и равен всегда влияющему заряду? Что меняется в системе при перемещении нейтрального проводника?

Чтобы ответить на данный вопрос необходимо разобраться с вопросом о распределении зарядов на поверхности эквипотенциального проводника и ответить на вопрос о связи этого распределения с геометрией системы.

Таким образом, после проделанных предварительных теоретических исследований мы подошли к тому вопросу, на который уже нельзя ответить без компьютерного моделирования.

Для ответа на этот вопрос задачу надо упрощать и детализировать, сводя систему рис. 1.2 к двухмерной модели рис.3.

В исследуемой системе, потенциал поля φ создается зарядом q, помещенным на длинный тонкий провод радиуса r, пересекающего плоскость xoz в точке Р(,). Система состоит из плоских электродов Э1 и Э1к , на которые поданы нулевые потенциалы, а также из нейтрального плоского проводника Э3. Определим поведение заряда, наведенного на электроде Э1к, шириной L при перемещении 3-го проводника. Общая ширина системы а.

Для решения данной задачи воспользуемся вспомогательными системами, потенциалы ψ и ξ, в которых создаются удалением из системы провода с «влияющим» зарядом q и заданием на электроды Э1, Э2, Э3 потенциалов, как на рис.4 и рис.2.2.

Свяжем потенциалы φ, ψ и ξ уравнениями Грина (2.1) и (2.2) и проведем их анализ по схеме, изложенной выше. В результате этого анализа получим выражение (8) для наведенного заряда.

Найдём значения потенциалов вспомогательных функций ξР и ψР, а также интегралы по поверхности S3.

Для определения ξР и рассмотрим вспомогательную электростатическую систему, представленную на рис.4.

При условии Z3 << a можно пренебречь краевыми эффектами и считать систему рис. 4 плоским конденсатором, потенциал в точке Р которого равен:

. (16)

Используем теорему Гаусса для определения интеграла по S3.

. (17)

Для плоского конденсатора справедливо равенство:

,

где b – длина пластин конденсатора, а – ширина, a<<b. Подставив q3(ξ) в (17) получим формулу

. (18)

Чтобы получить значение вспомогательного потенциала ψр и решение второго интеграла рассмотрим электростатическую систему для вспомогательной функции ψ (рис. 4).

Данная система отличается более сложным характером зависимости ψ1=V(x) на поверхности (z=0), состоящей из электродов Э1 и Э1k.

На этой поверхности ψ1(x)=0 при 0≤x< и <x≤a;

ψ1(x)=1 при ≤х≤ ;

Потенциал ψ электростатического поля в данной системе удовлетворяет уравнению Лапласа: .

Применяя метод разделения переменных, и проводя вычисления как это сделано в [2] получим выражение для потенциала ψр :

(19)

и интеграла:

. (20)

Подставляя в (8) формулы (17), (19), (20) и (21) получим окончательное уравнение для исследования зависимости заряда qН1, наведенного на первом заземленном электроде от расстояния h (h=ZН-ZP= h0 +K∙δh) 2-го нейтрального проводника относительно неподвижных остальных электродов

. (21)

,

,

, , .

Ниже приведен график (рис. 5), получившийся в результате расчета с помощью программы.

Как видим, зависимость имеет экстремальный характер. Если использовать формулу , то получим выражение для расчета зарядов, наведённых на поверхности, окружающей k-ую часть 1-го электрода. Эта зависимость будет также иметь экстремум, но противоположного знака.

Рис. 5

Полученные зависимости наведенного заряда от расстояния позволяют сделать вывод о том, что как на нейтральном проводнике Э3, так и на электроде Э1 наводятся заряды двух знаков, перемещающихся по проводникам и приводящим к появлению экстремальных зависимостей. Это представляет практический интерес, например, в метрологии. В свое время данная экстремальная зависимость была положена в основу разработки запатентованных датчиков перемещений и толщин [3].

Таким образом, предварительное теоретическое исследование дополнительной и основной задач с последующим компьютерным экспериментом позволили выяснить характерные особенности исследуемого явления и поставить задачу для его более глубокого анализа, которое может быть проведено как в рамках курса экспериментальной физики, так и при выполнении курсовой или дипломной работы. Кроме того, полученные соотношения могут быть использованы для вывода рабочих формул при техническом конструировании и моделировании.

___________________

1. , , Струнский электрической ёмкости. – М.: Энергоиздат; 1981.

2. , К расчету зарядов, наведённых в электростатических датчиках // Прикладные исследования в радиофизике и спектроскопии: Сб. научных статей. – Саратов: Издательский центр «Наука», 2009.

3. , , А. С. 853513 (СССР). Способ определения диэлектрических свойств материалов. Опубликовано в Б. И. № 29. 1981