Применение сплайнов для определения скоростной характеристики среды по данным сейсмического профилирования

, к. ф.-м. н.

Институт математики им. СО РАН

(Россия, 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4,

тел.[phone], Е-mail: *****@***nsc. ru)

Институт математики им. СО РАН

(Россия, 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4,

тел.[phone], Е-mail: *****@***nsc. ru)

В. B. Карстен

Институт нефтегазовой геологии и

геофизики им. СО РАН

(Россия, 630090, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 3,

тел.[phone], Е-mail: *****@***nsc. ru)

Применение сплайнов для определения скоростной характеристики среды по данным сейсмического профилирования

Аннотация. Предлагаемый метод решения обратной кинематической задачи об определении скоростной характеристики среды по данным сейсмического профилирования основан на комбинированном использовании уравнения эйконала и сплайновых методов аппроксимации функций многих переменных. Задача решается в предположении горизонтально-слоистого строения среды; никаких предположений о количестве слоев и их толщине не делается. Вначале по данным о временах первого вступления сейсмического сигнала от источников возбуждения, зарегистрированными приемниками, расположенными в вертикальной скважине, строится сплайн, аппроксимирующий время прихода сигнала из источников возбуждения в любую точку пространства. Затем с помощью уравнения эйконала определяется скоростная характеристика среды в окрестности скважины. Численные эксперименты на модельных и реальных данных демонстрируют высокую эффективность предложенного метода.

Постановка задачи. Сущность обратной кинематической задачи об определении скоростной характеристики среды по данным сейсмического профилирования (задача о скважине) заключается в следующем. Пусть в точках , , расположенных вдоль вертикальной скважины (система координат — декартова; ось направлена вниз от поверхности земли; — координаты устья скважины), находятся приёмники, регистрирующие время первого вступления продольных сейсмических волн. Предполагается, что сейсмические волны возбуждаются (как правило, взрывом) в точках , (пункты возбуждения), расположенных в некоторой окрестности скважины. Требуется по зарегистрированным временам первого вступления определить скоростную характеристику среды около скважины — скорость распространения продольной сейсмической волны .

Традиционные методы решения сформулированной обратной кинематической задачи основаны на использовании дополнительной априорной информации о горизонтально-слоистом строении среды, окружающей скважину, т. е. предполагается, что эта среда состоит из некоторого количества слоёв (пластов), в каждом из которых скорость сейсмических волн постоянна. Искомые значения пластовых скоростей находятся путём минимизации функционала невязки между наблюдаемыми временами распространения сейсмических волн и временами, найденными с учётом траекторий распространения сигнала в слоистой среде (см. например, [1]).

Обсуждаемый в представленном докладе алгоритм решения задачи о скважине основан на комбинированном использовании уравнения эйконала и сплайновых методов аппроксимации функций многих переменных. Аналогичный подход использовался в [2] для нахождения скоростных характеристик фокальной зоны Земли. Задача о скважине рассматривается в предположении горизонтальной слоистости среды. Вместе с тем никаких предположений о количестве слоев и их толщине не делается.

Характерной особенностью задачи о скважине является достаточно ограниченный объем исходной информации – небольшое количество пунктов возбуждения. Именно это обстоятельство проводит к необходимости внесения в алгоритм ее решения априорной информации о строении рассматриваемой среды. Заметим, что плотное расположение источников возбуждения в фокальной зоне позволило в цитированной работе [2] обойтись без привлечения какой-либо дополнительной априорной информации о строении и свойствах среды.

Используем предположение о горизонтальной слоистости среды для переформулировки задачи. Дополнительно будем считать, что все источники возбуждения находятся на одной и той же глубине. Это ограничение не обременительно при решении практических задач, так как реальные глубины пунктов возбуждения мало различаются по отношению к их расстояниям от скважины и ее глубине. В соответствии с принципом взаимности источник возбуждения сигнала и его приемник для любой среды можно поменять местами с сохранением времени распространения сигнала между ними. Если же среда горизонтально-слоистая, то в рассматриваемой нами задаче можно все пункты возбуждения поместить на место скважины и считать, что во всех исходных пунктах возбуждения находятся скважины с установленными на одинаковых глубинах приемниками сигнала (см. рис.1).

Рис. 1.

В левой части рисунка показано исходное расположение скважины и пунктов возбуждения (вид сверху); кружком отмечена скважина и крестиками – источники возбуждения . Заметим, что взаимное расположение скважины и источников возбуждения (и их количество) соответствует численным экспериментам, которые представлены далее в данной работе. На правой части рисунка показан результат переформулировки задачи. Понятно, что скважины в переформулированной задаче можно произвольным образом перемещать вдоль окружностей, на которых они расположены. В дальнейшем эта возможность используется при проведении численных экспериментов.

Итак, пусть в точке находится источник возбуждения, а в точках , находятся скважины, в каждой из которых на глубинах , размещены приемники сигнала и известны (измерены с некоторой погрешностью) времена прихода сигнала из точки в точки, где находятся приемники. Для дальнейшего несущественно наличие какой-либо структуры в расположении точек приема сигнала. Будем считать, что приемники сигнала находятся в точках ,, где, и соответствующие времена первого вступления продольной сейсмической волны будем обозначать через .

Алгоритм решения задачи о скважине. Алгоритм решения задачи состоит из двух основных этапов. На первом этапе по набору значений , известных в точках строится сглаживающий-сплайн , аппроксимирующий время распространения сигнала из пункта возбуждения в точку . Алгоритм построения -сплайна подробно описан в [2]. Там же рассматриваются вопросы, связанные с выбором адекватных параметров таких сплайнов (степень сплайна, полиномиальная степень сплайна, параметр сглаживания и др.) Здесь мы только отметим, что построение -сплайна сводится, в конечном итоге, к решению системы линейных уравнений с плотной матрицей, порядок которой близок к количеству точек с исходными данными. Так как в нашем случае количество этих точек , как правило, достаточно велико (см. численные эксперименты), то построение сглаживающего сплайна является достаточно трудоемкой процедурой. В этой связи отметим, что в данной работе для решения системы, возникающей при вычислении коэффициентов сплайна, использовался усовершенствованный нами метод Аазена. Это позволило примерно в два раза сократить временные затраты на построение сплайна по сравнению с методом, описанным в [2], при сохранении средств контроля над обусловленностью решаемой системы уравнений.

Замечательной особенностью сплайновой аппроксимации является то, что при этом с высоким качеством приближается не только функция, но и её производные. Именно это свойство сплайнов позволяет на втором этапе алгоритма воспользоваться уравнением эйконала

описывающим распространение сигнала в среде. В соответствии с этой формулой скорость распространения сигнала в окрестности скважины получается в виде непрерывной функции . При необходимости ее можно с требуемой точностью аппроксимировать привычной для практиков кусочно-постоянной функцией от переменной , определив таким образом слоистую структуру среды.

Оставляя за рамками статьи многие важные вопросы, связанные с приложением описанного метода к решению практических задач (в первую очередь здесь следует упомянуть выбор степени сплайна и особенно параметра сглаживания, так как речь идет об обработке экспериментальной информации), перейдем к описанию численных экспериментов, наглядно демонстрирующих его потенциальные возможности.

Численные эксперименты. Мы не описываем здесь многочисленные тестовые расчеты, выполненные в процессе отладки программного обеспечения, в которых использовались различные модельные среды с известными точными решениями (см. [2], [3]). Остановимся на численных экспериментах, использующих данные, предоставленные Институтом нефтегазовой геологии и геофизики им. СО РАН (ИНГГ СО РАН). Глубина скважины — 2830 м, приемники расположены через 10 м, начиная с глубины 390 м; имеется четыре пункта возбуждения сейсмического сигнала. В таблице 1 приведены параметры источников возбуждения (используется терминология переформулированной задачи – пункты возбуждения сигнала называются скважинами).

Таблица 1.

Скважины
Расстояние до источника возмущения (м)	107	971	844	806
Глубина источника возмущения (м)	8.3	6.5	11.0	8.7
Азимут источника возмущения (град)	165	201	86	321

Наряду с реальными данными в экспериментах использовались так называемые теоретические данные, полученные в ИНГГ СО РАН расчетным путем по слоистой модели среды, построенной в результате анализа реальных данных. Теоретические данные представляют особый интерес, так как в них отсутствует влияние нарушений слоистости среды, неизбежное для реальных данных. Для переформулированной задачи с одним источником возмущения считается, что он расположен на глубине 8.3 м. Таким образом, в экспериментах мы фактически работаем с возмущенными теоретическими данными.

Вначале рассмотрим случай, когда источник возмущения только один. Формально такая задача является двумерной и не может быть напрямую решена рассмотренным в данной работе методом. Используя предположение о слоистости среды, превратим нашу задачу в трехмерную. А именно, «размножим» скважину, в которой выполнены измерения, с равномерным шагом вдоль окружности с центром в пункте возбуждения (т. е., разместим скважины в вершинах правильного многоугольника). К полученной трехмерной задаче применим описанный выше алгоритм вычисления скорости распространения сигнала в среде. На рисунке 2 представлены результаты, полученные для скважины по реальным данным. Плавной линией показаны результаты расчета по сплайновому методу (сплайн степени 2, полиномиальной степени 1, параметр сглаживания равен 0.001); ступенчатым графиком представлены результаты, полученные в ИНГГ СО РАН. По горизонтальной оси отложена глубина (в метрах) вдоль скважины, по вертикальной – скорость распространения сигнала в среде (в километрах). Количество «размноженных» скважин равно 6; дальнейшее увеличение их числа практически не влияет на результаты расчета.

Рис. 2

Критическим моментом при работе с реальными данными является выбор адекватного параметра сглаживания в зависимости от уровня погрещности исходных данных. Для малых значений этого параметра на результаты расчета сильно влияют погрешности измерения и график получаемой скорости приобретает пилообразный характер. Если же параметр сглаживания слишком велик, то происходит переглаживание исходных данных с потерей их информативности – график скорости становится слишком плавным и далеким от истинного. В выполненных экспериментах параметр сглаживания подбирался методом проб и ошибок.

На рисунке 3 показаны результаты расчета по теоретическим данным, полученные при использовании исходных четырех скважин, к которым добавлены две «фиктивные» скважины, размещенные по азимуту скважины (расположение всех участвующих в расчете скважин показано в верхней части рисунка). Параметры -сплайна такие же, как в результатах, показанных на рисунке 2. Графики скоростей на рисунке 3 соответствуют вертикальному сечению через скважину . Еще более впечатляющие результаты имеют место для сечения через самую близкую к источнику возмущения скважину , где наблюдается практически полное совпадение исходных и восстановленных скоростей распространения сейсмического сигнала. Наблюдаемое расхождение между теоретической и рассчитанной скоростями в левой части графика объясняется тем, что в этой области данные о временах первого вступления отсутствовали.

Рис. 3

Приведенные результаты численных экспериментов, на наш взгляд, убедительно демонстрируют перспективность предложенного сплайнового метода определения скоростной характеристики среды по данным сейсмического профилирования. Отметим также, что он может быть распространен и на более широкий круг задач. В частности, по существу без всяких изменений он может применяться к невертикальным скважинам.

Работа выполнена в рамках Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН —2006–№ 66.

Список литературы

1.  Sayfy A. M., Azzawi K. A., Makky S. M. Seismic inverse problems: determining seismic wave speeds using arrival times // International Journal of Computer Mathematics. 2006. V. 83, No. 11. P. 797—808.

2.  , , Численное решение обратной кинематической задачи сейсмики с внутренними источниками // Сибирский журнал индустриальной математики. 2006. Т. IX, № 4(28). C. 3—26.

3.  , , . Некоторые подходы к решению обратной кинематической задачи сейсмики с внутренними источниками. — Новосибирск. 2004. — 34 с. — (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики; № 000).