Обоснование применяемой методики расчета

Обоснование применяемой методики расчета

Сравнительный подход к оценке рыночной стоимости независимо от метода его реализации основан на принципе «спроса и предложения», согласно которому цена за объект недвижимости на рынке определяется в результате взаимодействия сил спроса и предложения на объект в данном месте и в данное время.

Поскольку объективно не существует двух одинаковых по всем рассматриваемым характеристикам объектов недвижимости, при сопоставлении объектов сравнения (объекта оценки и его аналогов) возникает необходимость внесения соответствующих корректировок в наблюдаемые на рынке цены сделок (или предложений к ним) с объектами-аналогами.

Значение признаваемой рынком цены Cоi объекта оценки с использованием информации о цене Цi i-го аналога может быть определено следующим образом:

Cоi = Цi + SDцij + ,

где Dцij – корректировка цены i-го аналога по j–му ценообразующему фактору (параметры местоположения, состояния, транспортной доступности и т. п.), - «случайная» составляющая цены, относящаяся к воздействию не учитываемых в расчетах факторов, в том числе, не связанных со свойствами объектов.

В качестве оценки рыночной стоимости Vо объекта, согласно ее определениям[1], выступает наиболее вероятная цена объекта, которая может быть охарактеризована[2] значением моды распределения случайной величины Cоi. Мода, в свою очередь, при достаточно мягких допущениях (прежде всего, о симметричности закона распределения)[3], может быть представлена средним по выборке значением цен.

При наличии на рынке достаточной[4] информации о сделках купли-продажи (или предложениях к ним) с аналогами оцениваемого объекта, для расчета значения его рыночной стоимости может быть применен метод многомерного регрессионного анализа, имеющего ряд преимуществ перед другими методами сравнительного подхода. К таким преимуществам, в частности, относится возможность контролировать в ходе построения многомерной регрессионной модели ее прогнозные свойства, т. е. способность воспроизводить наблюдаемые на рынке значения цен аналогов, по выборке которых и строится модель.

Классический регрессионный анализ позволяет выявить статистическую зависимость случайной величины C, в роли среднего значения которой выступает оценка рыночной стоимости объекта недвижимости, от значений характеристик сравниваемых объектов Xi, рассматриваемых как неслучайные величины. Основной задачей регрессионного анализа является построение математической модели, определяющей аналитическую зависимости среднего значения от влияющих (ценообразующих) признаков X, то есть определение параметров Ai функции F(X,A), такой что C = F(X,A) + e, где F(X,A) определяет вид регрессионной связи, e - случайные отклонения наблюдаемых ценовых значений от модельных (остатки модели).

Наиболее разработанным теоретически и часто применяемым на практике является метод линейной квадратической регрессии, в котором принимается гипотеза об аддитивном характере воздействия влияющих факторов и линейной форме регрессионной зависимости от них результирующего признака[5]

C = F(X,A) + e = А0 + А1´X1 +…+ Аk´Xk. + e,

Поиск коэффициентов уравнения Ai производится из условия минимизации суммы квадратов отклонений ej наблюдаемых цен Сj объектов-аналогов от вычисленных по модели значений

j = F(Xj,A), j=1,…,n,

где n – число объектов-аналогов:

 

Эта оптимизационная задача сводится к решению системы линейных уравнений, записываемой в матричном виде[6] как

XA=C,

где А – вектор-столбец коэффициентов модели Ai, i=0,…,k,

C – вектор-столбец наблюдаемых ценовых значений Cj объектов-аналогов j=1,…,n,

X – матрица размерности n ´ k+1, состоящая из значений Xji влияющих признаков объектов-аналогов, дополненных единичной строкой.

Тогда коэффициенты Ai могут быть вычислены как A=(XTX)-1XTC, где:

; ; .

Данная система уравнений может быть решена в матричном виде, в том числе, средствами табличного процессора MS Excel. [7]

В результате могут быть получены точечные оценки коэффициентов регрессионной модели Ai, и с их помощью и с учетом значений влияющих переменных для объекта оценки – точечная оценка значения V0 его стоимости, а также, при допущении об известном законе распределения остатков модели – оценка ширины доверительного интервала для полученного значения рыночной стоимости.

В качестве статистических показателей качества линейной регрессионной модели принято рассматривать:

▪  среднюю ошибку аппроксимации[8],

позволяющую судить о «прогнозных способностях» регрессионной модели (т. е. о качестве ее приближения к рыночным данным) по среднему значению модуля разности между наблюдаемым на рынке yi и модельным значениями искомого параметра (цены, ставки аренды), отнесенного к наблюдаемому значению. В эконометрических задачах точность воспроизведения регрессионной моделью рыночных данных считается высокой при средней ошибке аппроксимации 5-7%, хорошей – при 7-12%, удовлетворительной – 12-15%, неудовлетворительной – свыше 15%[9];

▪  логичность знаков при коэффициентах регрессионного уравнения, т. е. их соответствие экономическим гипотезам о наблюдаемом на рынке характере влияния учитываемых моделью факторов на зависимую переменную. Иными словами, характер изменения (возрастание, уменьшение) моделируемой величины под воздействием возрастания либо уменьшения уровня каждого из учитываемых моделью факторов не должен противоречить характеру такого изменения, наблюдаемому на рынке;

▪  обеспечение случайного характера распределения остатков модели относительно значений моделируемой величины, свидетельствующего об отсутствии не учтенных моделью значимо влияющих факторов. Случайность (т. е. отсутствие какой-либо закономерности) распределения остатков модели свидетельствует об учете всех существенно влияющих факторов (в т. ч. и тех, значимость которых статистически не подтверждена) и обеспечивает получение моделью несмещенной оценки[10] среднего значения моделируемой величины;

▪  расчетные значения значимости (вероятности признания данного фактора существенно влияющим на моделируемую величину при отсутствии такого влияния)[11] для каждого из коэффициентов регрессионного уравнения по t-критерию Стьюдента для требуемого уровня значимости α и числа степеней свободы (n-k-1). Для признания фактора существенно влияющим необходимо, чтобы расчетное значение t-критерия для коэффициента уравнения при данном факторе превосходило критическое значение этого критерия для заданного уровня значимости (обычно – α = 0,05);

▪  интервальную оценку значения рыночной стоимости объекта оценки V0 в виде симметричного доверительного интервала [12], который вычисляется исходя из величин стандартного отклонения оценки регрессионного среднего [13] и поправки «на малость выборки» tα – значения t-статистики Стьюдента[14] для требуемого уровня значимости α и числа степеней свободы (n-k-1), а также положения параметров объекта оценки относительно многомерного «центра группирования» параметров анализируемой выборки объектов-аналогов. Ширина доверительного интервала очерчивает «интервал неопределенности» результата оценки рыночной стоимости методами регрессионного анализа.[15];

▪  корректированный на число степеней свободы коэффициент детерминации R2кор, позволяющий судить о том, какой процент дисперсии известных рыночных данных объясняется дисперсией факторов, включенных в регрессионную модель и позволяющий сравнивать модели с различным составом факторов и различными функциональными связями их с моделируемой величиной;

▪  расчетное значение F-критерия Фишера, которое наряду с критическим его значением, позволяет оценить статистическую значимость регрессионного уравнения в целом, т. е. указать доверительную вероятность принятия утверждения о том, что хотя бы один из учитываемых моделью факторов является действительно влияющим. Другими словами, принятия утверждения, что регрессионная модель предсказывает среднюю цену для объекта оценки лучше, чем среднее арифметическое цен объектов-аналогов[16].

В условиях малой выборки требуемое качество регрессионной модели может быть достигнуто при обеспечении высокой однородности выборки за счет отбора близких объектов-аналогов. Однородность выборки позволяет в ряде случаев понизить размерность (количество учитываемых факторов) регрессионной модели, исключив из нее те факторы, значения которых фиксированы или вариации значений которых незначительны и (или) не оказывают существенного влияния на ценообразование. Снижение размерности модели, в свою очередь, позволяет получать обоснованные статистические оценки рыночной стоимости при относительно небольшом объеме выборки – порядка 2(k+1) - 2(k+2) аналогов, где k – число учитываемых ценообразующих признаков объектов (факторов модели). Для часто применимых на практике моделей с четырьмя - пятью варьируемыми ценообразующими факторами, статистически обоснованные результаты моделирования (при R2≥0,8) могут быть получены при объемах выборки от 10-12 аналогов [17].

Ряд влияющих на цену объекта недвижимости признаков трудно измеряются количественно, поэтому для составления системы уравнений множественной регрессии часто используются методы их оцифровки (кодировки, балльного шкалирования). Система кодировок ценообразующих факторов выбирается экспертами-оценщиками исходя из экономических гипотез относительно вида зависимостей результирующего признака от ценообразующих факторов, и в значительной степени определяет качество регрессионной модели. Оптимальная система кодировок, обеспечивающая наилучшее удовлетворение предъявляемым к модели требованиям и экономическим гипотезам, может быть найдена оценщиком путем «проб и ошибок». На практике, однако, поиск такой системы кодировок может быть существенно ускорен с помощью оптимизационных процедур[18].

Объективным критерием адекватности выбора влияющих факторов и зависимостей их влияния на искомый параметр может служить набор описанных выше показателей качества модели. При удовлетворении моделью требований к ее прогнозным свойствам (ошибке аппроксимации и ширине доверительного интервала), предъявляемых со стороны решаемой прикладной задачи, а также при обеспечении условий несмещенности точечной оценки среднего значения, результат, полученный с помощью такой модели, считается статистически обоснованным.

Таким образом, построение многомерной регрессионной модели при решении задач индивидуальной оценки содержит следующие последовательные шаги:

·  анализ сегмента рынка, на котором позиционируется оцениваемый объект, и формирование из аналогичных объектов с известными рыночными ценами (сделок или предложений к ним) однородной с объектом оценки выборки. Однородность выборки предполагает, что ценообразование для всех объектов сравнения (объекта оценки и аналогов в выборке) происходит по единым закономерностям и может быть описано единой моделью;

·  анализ полученной выборки объектов сравнения (включая объект оценки) по составу и уровням ценообразующих признаков, выявление существенно влияющих признаков, т. е. тех, вариации значений которых могут объяснить вариации цен аналогов в выборке, оцифровка (кодировка) признаков для учета и обработки их в качестве факторов регрессионной модели;

·  построение методами множественной регрессии математической модели зависимости средней величины цены от влияющих факторов, общих для всех объектов сравнения. При этом одновременно решаются задачи спецификации модели, т. е. определения состава учитываемых факторов модели и формы их влияния, а также калибровки модели – расчета значений коэффициентов модели и показателей ее качества;

·  расчет прогнозного значения оценки рыночной стоимости оцениваемого объекта и доверительного интервала (неопределенности) для полученной оценки рыночной стоимости как среднего значения цен в регрессии.

[1] Федеральный закон от 01.01.2001 N 135-ФЗ (действующая редакция от 01.01.2001) "Об оценочной деятельности в РФ», Федеральный стандарт оценки «Цель оценки и виды стоимости (ФСО№2)», утв. Приказом МЭРТ

[2] в случае унимодального распределения цен

[3] , , О повышении достоверности оценки рыночной стоимости методом сравнительного анализа // Вопросы оценки. 2002. №1, http://www. appraiser. ru/default. aspx? SectionId=41&Id=1578

[4] см. , , О требованиях к числу сопоставимых объектов при оценке недвижимости сравнительным подходом // Вопросы оценки 2003 №1, http://www. appraiser. ru/default. aspx? SectionId=41&Id==1577

[5] такие модели в литературе часто называются собственно линейными. Аддитивные модели с нелинейными формами зависимости результирующего признака от влияющих сводятся к собственно линейным соответствующей заменой переменных.

[6] см., например, , Пересецкий . Начальный курс - М.: Дело, 2001.

[7] см., например, Анисимова методов регрессионного анализа для оценки рыночной стоимости в среде MS Excel, http://www. appraiser. ru/default. aspx? SectionId=41&Id=1576

[8] в отечественной эконометрической литературе часто обозначается заглавной буквой А.

[9] см., например, Эконометрика: учебник / Под ред. . – М.: Финансы и статистика, 2001. – 344 с.

[10] см., например, Демиденко и нелинейная регрессии. - М.: Финансы и статистика, 1981, (с.92-97)

[11] p-value в инструменте РЕГРЕССИЯ электронных таблиц MS Excel

[12] см., например, , Трошин статистические методы: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2000

[13] Может быть получена в среде MS Excel с помощью функции ЛИНЕЙН или инструмента РЕГРЕССИЯ пакета АНАЛИЗ ДАННЫХ

[14] значение t-статистики может быть определено с помощью функции MS Excel СТЬЮДРАСПОБР (вероятность = 0,05, степени свободы = объем выборки минус число независимых переменных и минус единица).

[15] В качестве допустимой ширины доверительного интервала в задачах индивидуальной оценки при достаточном объеме информации может быть принят широко распространенный в оценочной среде показатель «допустимой погрешности оценки» - ±15-20% от полученного значения точечной оценки рыночной стоимости оцениваемого объекта.

[16] Последние два показателя качества многомерной модели при выполнении требований к статистической значимости каждого из учтенных моделью факторов носят второстепенный характер, т. к. обычно предъявляемые к ним требования выполняются автоматически. Тем не менее, эти показатели удобно контролировать при отладке моделей и выборе лучшей из них.

[17] , , О требованиях к числу сопоставимых объектов при оценке недвижимости сравнительным подходом // Вопросы оценки. 2003. №1, http://www.appraiser. ru/default. aspx? SectionId=41&Id=1577

[18] , , Грибовский разнотипных ценообразующих факторов в многомерных регрессионных моделях оценки недвижимости // Вопросы оценки, 2004. №2, http://www. appraiser. ru/default. aspx? SectionId=41&Id=1575;

инеаризация нелинейных связей в регрессионной модели или еще раз об оцифровке влияющих переменных // Материалы IV Поволжской научно-практической конференции «Статистические методы массовой и индивидуальной оценки. Проблемы точности и неопределенности», г. Нижний Новгород, 31.03-01.04.2011 г.