Криволинейные координаты. Цилиндрическая
и сферическая системы координат
При решении многих задач удобно использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Например, границей многих тел служат такие поверхности, как цилиндр, сфера и другие, уравнения которых имеют наиболее простой вид в специальных системах координат.
Широко используется рассмотренная ранее полярная система координат в 
, а также ее обобщения на случай пространства 
– цилиндрическая и сферическая системы координат, которые относятся к криволинейным системам координат.
а) Определим положение точки 
в пространстве 
полярными координатами 
и 
точки 
(проекции на плоскость 
) и аппликатой 
самой точки (рис. 1, а):
, 
, 
(или 
),
, 
.
Величины , , , называют цилиндрическими координатами точки (рис. 1, а).
С прямоугольными декартовыми цилиндрические координаты точки связаны следующими соотношениями:
, 
, 
а б
Рис. 1
б) Определим положение точки в пространстве расстоянием 
точки P от начала координат, углом между положительным направлением оси 
и проекцией 
отрезка 
на плоскость и углом 
между положительным направлением оси 
и отрезком :
, 
,
, 
Величины , , называют сферическими координатами точки (рис. 1, б).
С прямоугольными декартовыми сферические координаты связаны соотношениями: 
, 
, 
Например,
· цилиндр, уравнение которого в декартовых координатах 
, в цилиндрической системе координат записывается в виде 
;
· уравнение сферы 
в сферических координатах имеет более простой вид: 
.
В общем случае замены переменных в тройном интеграле имеет место ситуация, аналогичная рассмотренной для двойного интеграла. Тогда по аналогии с формулой замены переменных в двойном интеграле якобиан имеет вид
.
Формула замены переменных для тройного интеграла принимает вид
.
Рассмотрим переход к цилиндрическим координатам. Здесь 
, 
, 
и между декартовыми и цилиндрическими координатами существуют следующие зависимости: 
, 
, 
. Тогда определитель Якоби
.
Итак, формула замены переменных при переходе от декартовых координат к цилиндрическим принимает вид
.
Как и в случае декартовых координат, вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах сводится к трехкратному последовательному интегрированию, при этом наиболее удобно внешний интеграл брать по переменной 
, средний – по 
и внутренний – по z. Для расстановки пределов область 
проектируют на одну из координатных плоскостей, например 
, расставляют пределы по переменным и (как в двойном интеграле в случае вычисления его в полярных координатах), а затем определяют пределы по переменной z (от точки входа в область до точки выхода из нее). Таким образом, после расстановки пределов интегрирования тройной интеграл в цилиндрических координатах запишется в виде (рис. 2)
. 
Рис. 2
Пример 1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле 
и вычислить его значение в случае 
. Область ограничена поверхностями: 
, 
, 
(
), 
, 
.
Р е ш е н и е.
Область ограничена двумя круговыми цилиндрами, двумя координатными плоскостями и конусом. Построим ее проекцию на плоскость (рис. 3). С учетом характера области интегрирования (ограничена цилиндрами и конусами) вычисление удобно вести в цилиндрической системе координат. Преобразуем уравнения поверхностей, используя связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:
· 
;
· 
; 
.
· Так как 
, то 
или 
.
· Так как , то 
или 
.
Следовательно, область 
описывается неравенствами: 
, 
, 
. Подставив , получим
.
В случае перехода к сферическим координатам положим 
, , 
. Зависимость между декартовыми и сферическими координатами точки, как известно, имеет вид 
, 
, 
. Для рассматриваемой замены переменных модуль определителя Якоби
.
Таким образом, формула замены переменных применительно к сферическим координатам имеет вид
.
Принцип расстановки пределов и вычисления тройного интеграла в сферических координатах (рис. 4) аналогичен рассмотренному ранее для случая цилиндрических координат. Если 
, то
.
Пример 2. Вычислить интеграл
,
переходя к цилиндрическим или сферическим координатам.
Р е ш е н и е. Восстановим область интегрирования по пределам заданного повторного интеграла. Очевидно, 
, 
– область, ограниченная верхней половиной сферы и плоскостью (рис. 5). Следовательно, вычисление целесообразно вести в сферических координатах. Перейдем к ним по формулам , 
, 
.
Уравнение сферы принимает вид 
,
подынтегральная функция 
.
Тогда 
и
.
!!! Так как пределы интегрирования и подынтегральные функции во внутренних интегралах не зависят от внешних переменных интегрирования, то все интегралы могут вычисляться одновременно (тройной интеграл «распадается» в произведение определенных интегралов):
|
|
Рис. 4 | Рис. 5 |
Как уже отмечалось, выбор системы координат при вычислении двойных и тройных интегралов определяется характером фигуры 
или видом подынтегральной функции и имеет цель – получить наиболее простые пределы интегрирования по соответствующим переменным или упростить операции нахождения первообразных.
