Обработка сигналов в системах телекоммуникаций (стр. 7 )

,…,,

,…,,

, , .

Векторы - параметры сплайновой аппроксимационной модели принадлежат ограничивающему множеству , образованного системой линейных равенств , , .

Для звукового сигнала и функции определяется сплайновый квадратичный по функционал .

Построение сплайновой аппроксимационной модели сводится к решению задачи условной оптимизации

.

Поскольку функционал является квадратичным и ограничивающие равенства являются линейными, то данная задача условной оптимизации сводится к решению системы линейных уравнений размерности .

Сплайновая аппроксимационная модельная функция для звукового сигнала в точках сплайнового участка представляется соотношением .

Для большого числа наблюдений сигнала , , сплайновая аппроксимационная модель вычисляется по частям на сплайновых участках по точек, , - число cплайновых участков. Гладкость сплайновой модели в точках стыковки участков , - номер участка, , обеспечивается с помощью управляющих векторов , . Вычислим оценки для значений звукового сигнала и его производных в точках в виде векторов , . Для обеспечения гладкости сплайновой конструкции в целом для точек положим, что управляющие векторы , связаны с векторами , следующим образом

, , , , …,

, , , , ,…,

, , , .

3. Эффективность предложенного сплайнового фильтра была оценена на реальном звуковом сигнале. Рассматривался нормированный сигнал с числом точек , с частотой дискретизации , длительность сигнала , . К сигналу добавлялся дискретный шум от датчика случайных чисел с .

Зашумлённый звуковой сигнал подвергался полосовой фильтрации с помощью фильтра Баттерворта десятого порядка. Вычислялась погрешность в зависимости от относительной частоты среза , - сигнал полосового фильтра

На рис.1 представлен график зависимости . Из графика для данной записи сигнала видно, что минимально возможное значение погрешности, которое может обеспечить традиционный цифровой полосовой фильтр, достигается при и составляет величину .

На рис.2 представлен пример работы цифрового сплайнового фильтра. Взят фрагмент звукового сигнала без шумов , для точек с номерами , - сплошная кривая с индексом 1. Пунктирной кривой с индексом 2 показана сплайновая аппроксимационная функция, являющаяся результатом сплайновой фильтрации. Кривая с индексом 3 соответствует выходу цифрового полосового фильтра. Сплайновый фильтр в отсутствии шумов, в отличие от традиционного фильтра, обеспечивает практически нулевую погрешность.

На рис 3 представлены оценки погрешностей сплайновой фильтрации при действии в наблюдениях шумов с . Вычислялись случайные величины (без усреднения), -выход сплайнового фильтра в зависимости от числа точек на сплайновом интервале и порядка сплайновых полиномов . Видно, что для предлагаемого сплайнового фильтра с , минимальная погрешность составляет величину , которая существенно меньше, чем погрешность для полосового фильтра.