ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ
ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
ФГБОУ ВО «СГУ имени »
Механико-математический факультет
СОГЛАСОВАНО заведующий кафедрой математического и компьютерного моделирования "__" ________________20___ г. | УТВЕРЖДАЮ председатель НМС факультета "__" ________________20___ г. |
Фонд оценочных средств
Òåêóùåãî êîíòðîëÿ è ïðîìåæóòî÷íîé àòòåñòàöèè ïî äèñöèïëèíå
Закон сохранения симметрии дифференциальных уравнений
Направление подготовки
01.03.02 «Прикладная математика и информатика»
Профиль подготовки
Математическое моделирование
Квалификация выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2016 ãîä
Карта компетенций
Контролируемые компетенции (шифр компетенции) | Планируемые результаты обучения (знает, умеет, владеет, имеет навык) |
ОК-7 - способность к самоорганизации и самообразованию | Знать: содержание процессов самоорганизации, их особенностей и технологий реализации, исходя из целей совершенствования профессиональной деятельности, содержание процессов самообразования, их особенностей и технологий реализации, исходя из целей совершенствования профессиональной деятельности. |
Уметь: планировать цели и устанавливать приоритеты при выборе способов принятия решений с учетом условий, средств, личностных возможностей и временной перспективы достижения; осуществления деятельности, самостоятельно строить процесс овладения информацией, отобранной и структурированной для выполнения профессиональной деятельности. | |
Владеть: приемами саморегуляции эмоциональных и функциональных состояний при выполнении профессиональной деятельности, технологиями организации процесса самообразования; приемами целеполагания во временной перспективе, способами планирования, организации, самоконтроля и самооценки деятельности. | |
ОПК-2 - способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии. | Знать: знать основные понятия, концепции, результаты, задачи и методы классического математического анализа, дополнительных глав естественнонаучных дисциплин, знать результаты, задачи и методы дискретной математики и информатики. знать основные понятия теории концепций современного естествознания и нелинейной теории математической физики, определения и свойства математических объектов в этих областях, формулировки ключевых утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений. знать основные понятия, концепции, результаты, задачи и методы классической теории вероятностей, математической статистики, теории языков и методов программирования и дополнительных глав естественнонаучных дисциплин. |
Уметь: уметь применять основные методы анализа к исследованию функций, уметь решать стандартные задачи теории вероятностей и математической статистики, прикладной математики в естественнонаучных и гуманитарных дисциплинах, оптимального управления и информатики. уметь решать задачи вычислительного характера в области теории вероятностей и математической статистики и уравнений математической физики. уметь применять математические методы и модели к анализу случайных явлений для их описания и понимания, уметь применять методы математического моделирования в естествознании и уметь решать задачи прикладной математики в естественнонаучных и гуманитарных дисциплинах. | |
Владеть: владеть навыками решения задач математического анализа, прикладной математики в естественнонаучных и гуманитарных дисциплинах. оптимального управления и информатики. навыками решения задач математического моделирования в естествознании и нелинейных задачи математической физики владеть навыками вычисления вероятностей, решения задач математической статистики и дискретной математики. | |
ПК-1 - способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным исследованиям | Знать: определения и свойства интегралов Римана и Лебега, признаки сходимости функциональных рядов, свойства степенных рядов, преобразование Фурье и его свойства, основные типы обыкновенных уравнений, метод Эйлера, метод вариации произвольных постоянных, основные понятия теории устойчивости, формулы Крамера, жорданову форму матрицы; классификацию уровней математической физики второго порядка; метод Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения; свойства гармонических функций; основные принципы функционального анализа; теорию Фредгольма для операторных уравнений; метод регуляризации Тихонова, метод Лаврентьева; классификацию особых точек аналитических функций; теорию вычетов;формулу Коши для аналитических функций; свойства резольвенты линейного дифференциального оператора. |
Уметь: осуществлять поиск научной информации в интернете, использовать основные понятия и методы математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, алгебры, геометрии и информатики при обработке и интерпретации собранных данных; решать краевые задачи для различных типов уравнений математической физики методом разделения переменных; решать задачу Коши для уравнений параболического типа; находить нормы функционалов и оценивать нормы операторов; строить конформные отображения простых областей с помощью элементарных аналитических функций; находить приближенные решения интегральных уравнений I рода; строить функцию Грина для простейших линейных дифференциальных операторов. | |
Владеть: навыками сбора и работы с математическими источниками информации, методами математического анализа и навыками их практического применения: навыками дифференцирования функций, методами решения линейных дифференциальных уравнений, методами решения систем линейных алгебраических, навыками работы с компьютером как средством управления информацией, навыками работы в OC WINDOWS; навыками приведения уравнений в частных производных второго порядка к каноническому виду, методом разделения переменных; навыками применения основных понятий и методов функционального анализа при исследовании конкретных задач; навыками разложения аналитических функций в ряд Лорана, вычисления контурных интегралов с помощью теории вычетов; методами решения некорректно поставленных задач (методы Тихонова и Лаврентьева); владеть методами нахождения асимптотик собственных значений и собственных функций линейных дифференциальных операторов и их резольвент. | |
ПК-2 - способность понимать, совершенствовать и применять современный математический аппарат | Знать: основные типы обыкновенных уравнений, метод Эйлера, метод вариации произвольных постоянных, основные понятия теории устойчивости, формулы Крамера, жорданову форму матрицы; метод Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения; свойства гармонических функций; основные принципы функционального анализа; теорию Фредгольма для операторных уравнений; метод регуляризации Тихонова, метод Лаврентьева; классификацию особых точек аналитических функций; теорию вычетов; формулу Коши для аналитических функций; свойства резольвенты линейного дифференциального оператора; основные понятия и теоремы теории целых функций; свойства функций Вейля в обратных задачах Штурма-Лиувилля; основные свойства опера-тора Штурма-Лиувилля; теорему Амбарцумяна; метод Гельфонда-Левитана; приближающие свойства резольвенты оператора дифференцирования; |
Уметь: использовать основные понятия и методы математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, алгебры, геометрии и информатики при обработке и интерпретации собранных данных; получать оценки модуля целых функций; получать интегральные представления целых функций экспоненциального типа; строить функцию Вейля в обратной задаче Штурма-Лиувилля; использовать резольвенту оператора дифференцирования. | |
Владеть: методами математического анализа и навыками их практического применения: навыками дифференцирования функций, методами решения линейных дифференциальных уравнений, методами решения систем линейных алгебраических уравнений; навыками определения порядка и типа конкретных целых функций; навыками разложения целых функций в степенные ряды; методами получения асимптотики собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля; навыками приближенного решения уравнений 1-го рода с помощью резольвенты; методом характеристик решения простейших нелинейных уравнений в частных производных. |
Показатели оценивания планируемых результатов обучения
Семестр | Шкала оценивания | |||
2 | 3 | 4 | 5 | |
Семестр 7 | Не владеет навыками работы с компьютером, не умеет дифференцировать и интегрировать элементарные функции; не владеет методами интегрирования простейших дифференциальных уравнений; не владеет методами решения систем линейных алгебраических уравнений. Не умеет использовать основные понятия и методы математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, алгебры, геометрии и информатики. Не знает определений интегралов Римана и Лебега;не знает свойства степенных рядов; не знает типов дифференциальных уравнений и постановки задач Коши; не знает методов решения систем линейных алгебраических уравнений; не знает типы кривых второго порядка; не знает основных понятий дискретной математики. | Слабо владеет методами вычисления производных и интегралов; слабо владеет методами интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Неуверенно использует основные понятия и методы математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, алгебры, геометрии и информатики. Слабо знает признаки сходимости функциональных рядов; не вполне знает свойства преобразования Фурье; нетвердо знает метод Эйлера решения систем дифференциальных уравнений; слабо знает канонические формы матрицы; знает не все типы поверхностей второго порядка. | Хорошо владеет методами решения различных дифференциальных уравнений; владеет формулами Крамера при решении систем линейных алгебраических уравнений. Хорошо умеет анализировать данные, используя основные понятия и методы математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, алгебры, геометрии, информатики. Хорошо знает теорию интегралов Римана и Лебега, связь интегралов по объему и поверхности, преобразования Фурье и его свойства; хорошо знает основные методы интегрирования дифференциальных уравнений; хорошо знает основные понятия и методы линейной алгебры и аналитической геометрии; хорошо знает основные математические модели дискретного характера и области их применения. | Отлично владеет методами математического анализа, методами решения дифференциальных уравнений и систем. Уверенно использует основные понятия и методы математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, алгебры, геометрии, информатики. Глубоко знает основные понятия и методы математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, высшей алгебры и аналитической геометрии, дискретной математики и информатики. |
семестр 8 | Не владеет навыками построения асимптотических рядов; не владеет методами генерации разностных схем с алгебраическими свойствами дифференциальных уравнений; не владеет простейшими методами разработки алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования, математических, информационных и имитационных моделей; не владеет методом множителей Лагранжа при решении задач на условный экстремум; не владеет симплекс-методом. Не умеет вычислять симметрии дифференциальных уравнений средствами компьютерной алгебры; не умеет получать асимптотические разложения для конкретных функций; не умеет применять основные принципы и законы моделирования систем; не умеет находить двойственную задачу к конкретной задаче линейного программирования; не умеет пользоваться методом золотого сечения. Не знает понятия регулярного и сингулярного возмущений; не знает понятие асимптотического ряда типа Пуанкаре; не знает понятия высшего приближения, внутреннего и внешнего разложений; не знает основные понятия теории классических симметрий для дифференциальных уравнений; не знает законы сохранения; не знает теорему Куна-Таккера; не знает основные теоремы теории двойственности. | Слабо владеет навыками построения асимптотических рядов; слабо владеет методами генерации разностных схем с алгебраическими свойствами дифференциальных уравнений; слабо владеет простейшими методами разработки алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования, математических, информационных и имитационных моделей; слабо владеет навыками определения порядка и типа конкретных целых функций; слабо владеет методом множителей Лагранжа при решении задач на условный экстремум; слабо владеет симплекс-методом. Слабо умеет вычислять симметрии дифференциальных уравнений средствами компьютерной алгебры; слабо умеет получать асимптотические разложения для конкретных функций; слабо умеет применять основные принципы и законы моделирования систем; слабо умеет находить двойственную задачу к конкретной задаче линейного программирования; слабо умеет пользоваться методом золотого сечения. Слабо знает понятия регулярного и сингулярного возмущений; слабо знает понятие асимптотического ряда типа Пуанкаре; слабо знает понятия высшего приближения, внутреннего и внешнего разложений; слабо знает основные понятия теории классических симметрий для дифференциальных уравнений; слабо знает законы сохранения; слабо знает теорему Куна-Таккера; слабо знает основные теоремы теории двойственности. | Хорошо владеет навыками построения асимптотических рядов для конкретных функций; хорошо владеет усовершенствованной процедурой сращивания; хорошо владеет методами генерации разностных схем с алгебраическими свойствами дифференциальных уравнений; хорошо владеет методами моделирования информационных процессов; хорошо владеет основными методами разработки алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования, математических, информационных и имитационных моделей; достаточно уверенно владеет методом множителей Лагранжа при решении задач на условный экстремум; хорошо владеет симплекс-методом. Хорошо умеет вычислять симметрии дифференциальных уравнений средствами компьютерной алгебры; хорошо умеет получать асимптотические разложения для конкретных функций; хорошо умеет применять методы Линдштедта-Пуанкаре и Лайтхилла для получения решений дифференциальных уравнений строить модели данных DFD; хорошо умеет применять основные принципы и законы моделирования систем; хорошо умеет уметь строить UML модели экономических процессов; хорошо умеет находить двойственные задачи и задачи линейного программирования; хорошо умеет решать экстремальные задачи методом золотого сечения и методом наискорейшего спуска. Хорошо знает понятия регулярного и сингулярного возмущений; хорошо знает понятие асимптотического ряда типа Пуанкаре; хорошо знает понятия высшего приближения, внутреннего и внешнего разложений; хорошо знает основные понятия теории классических симметрий для дифференциальных уравнений; хорошо знает законы сохранения; хорошо знает технологии программирования; хорошо знает основные понятия системного анализа; хорошо знает особенности экономических систем; хорошо знает основные методы разработки и исследования математических, информационных и имитационных моделей; хорошо знает теорему Куна-Таккера для задач выпуклого программирования; хорошо знает теорию двойственности в линейном программировании; хорошо знает принцип максимума Понтрягина. | Отлично владеет навыками построения асимптотических рядов для конкретных функций; отлично владеет усовершенствованной процедурой сращивания; отлично владеет методами генерации разностных схем с алгебраическими свойствами дифференциальных уравнений; отлично владеет методами моделирования информационных процессов; отлично владеет основными методами разработки алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования, математических, информационных и имитационных моделей; отлично владеет методом множителей Лагранжа при решении задач на условный экстремум; отлично владеет симплекс-методом. Отлично умеет вычислять симметрии дифференциальных уравнений средствами компьютерной алгебры; отлично умеет получать асимптотические разложения для конкретных функций; отлично умеет применять методы Линдштедта-Пуанкаре и Лайтхилла для получения решений дифференциальных уравнений строить модели данных DFD; отлично умеет применять основные принципы и законы моделирования систем; отлично умеет уметь строить UML модели экономических процессов; отлично умеет находить двойственные задачи и задачи линейного программирования; отлично умеет решать экстремальные задачи методом золотого сечения и методом наискорейшего спуска. Отлично знает понятия регулярного и сингулярного возмущений; отлично знает понятие асимптотического ряда типа Пуанкаре; отлично знает понятия высшего приближения, внутреннего и внешнего разложений; отлично знает основные понятия теории классических симметрий для дифференциальных уравнений; отлично знает законы сохранения; отлично знает технологии программирования; отлично знает основные понятия системного анализа; отлично знает особенности экономических систем; отлично знает основные методы разработки и исследования математических, информационных и имитационных моделей; отлично знает теорему Куна-Таккера для задач выпуклого программирования; отлично знает теорию двойственности в линейном программировании; отлично знает принцип максимума Понтрягина. |
Оценочные средства
Консультации, выдача заданий и прием результатов выполнения осуществляется только во время аудиторных занятий. Задания выполняются по семестрам. Правильное выполнение некоторых заданий возможно только, если студент корректно выполнил предыдущие задания. Поэтому приступать к следующему заданию студент может, только сдав преподавателю результат выполнения предыдущего. Результаты выполнения демонстрируются преподавателю. Во время приема выполненной работы преподаватель вправе:
1) Требовать у студента демонстрации выполнения программного проекта, предусмотренной заданием.
2) Самостоятельно производить манипуляции с программным проектом и средой программирования, не изменяя программы, составленной студентом.
3) Требовать у студента пояснений, относящихся к исходному коду и способам реализации программы.
.
Балл | Критерий оценки |
16-20 | работа выполнена полностью и правильно, сделаны правильные выводы; студент четко и последовательно отвечает на поставленные вопросы преподавателя |
11-15 | работа выполнена правильно с учетом 2-3 несущественных ошибок исправленных самостоятельно по требованию преподавателя. |
6-10 | работа выполнена правильно не менее чем на половину или допущена существенная ошибка |
1-5 | допущены существенные ошибки в ходе работы, которые студент не может исправить даже по требованию преподавателя. |
0 | работа не выполнена. |
Темы практических занятий.
Проблема представления данных
Многочлены и рациональные функции
Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков
Наибольший общий делитель. Определения и алгоритмы вычисления
Алгоритмы вычисления НОД(a, b) в кольцах многочленов k[x] и Z [x]
Границы для коэффициентов делителя полинома
Базисы Грёбнера
Базисы Грёбнера в полиномиальных, дифференциальных и разностных модулях
Инволютивные базисы
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнения первого порядка
Теория классических симметрий
Высшие симметрии
Законы сохранения
Нелокальные симметрии
Вычисления симметрий средствами компьютерной алгебры
Генерация разностных схем с алгебраическими свойствами исходных дифференциальных уравнений
Задания для текущего контроля
Методические указания. Промежуточная аттестация по дисциплине «Закон сохранения симметрии » проводится в виде устного экзамена. Учебным планом по направлению подготовки «01.03.02 - ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà» предусмотрено одна промежуточная аттестация по соответствующим разделам данной дисциплины. Подготовка студента к прохождению промежуточной аттестации осуществляется в период лекционных и практических занятий, а также во внеаудиторные часы в рамках самостоятельной работы. Во время самостоятельной подготовки студент пользуется конспектами лекций, основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценивания. Во время зачета студент должен дать развернутый ответ на вопросы, изложенные в билете. Преподаватель вправе задавать дополнительные вопросы по всему изучаемому курсу.
Во время ответа студент должен продемонстрировать знания по  ðåçóëüòàòå îñâîåíèÿ äèñöèïëèíû îáó÷àþùèéñÿ äîëæåí:
•Знать:
методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, технологии программирования, численные методы и алгоритмы решения типовых математических задач; законы сохранения дифференциальных уравнений.
•Уметь:
понимать и применять на практике компьютерные технологии для решения различных задач гидродинамики, теории оболочек и т. д.
•Владеть:
методологией и навыками решения научных и практических задач с применением средств компьютерной алгебры
Список вопросов к устному зачету за 7 семестр:
1. Точечные преобразования.
2. Контактные преобразования.
3. Однопараметрические группы преобразований
4. Группы допускаемые уравнением
5. Алгебра симметрий
6. Вычисление алгебры симметрий.
7. Приложения к уравнениям первого порядка
8. Дифференциальные инварианты.
9. Понижение порядка уравнения
10. Уравнения в частных производных
11. Вычисление алгебры симметрий.
12. Инвариантные решения
13. Высшие симметрии
14. Теорема Бэклунда.
15. Высшие симметрии
16. Интегрируемые уравнения
Список вопросов к экзамену за 8 семестр:
1. Редукция полиномов
2. Базисы Грёбнера
3. Решение системы полиномиальных уравнений
4. Алгоритм Бухбергера (для нахождения стандартного базиса).
5. Прямой метод интегрирования рациональных дробей
6. Разложение на свободные от квадратов множители
7. Расширенный алгоритм Евклида
8. Результант двух многочленов
9. Интегрирование сложных функциональных выражений
10. Теория классических симметрий
11. Высшие симметрии
12. Законы сохранения
13. Нелокальные симметрии
14. Вычисления симметрий средствами компьютерной алгебры
15. Генерация разностных схем с алгебраическими свойствами исходных дифференциальных уравнений
ФОС для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации одобрен на заседании кафедры математического и компьютерного моделирования (протокол № 1 от 01.01.2001года).
Автор:
д. ф-м. н., профессор
