Практическое занятие №1 Основные положения теории вероятностей

Практическое занятие №1

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные понятия и теоремы
Случайные события	Вероятность случайного события А:
Элементы комбинаторики: ·  размещения ·  перестановки ·  сочетания	Размещения: Перестановки: ! Сочетания:
Действия с вероятностями: ·  сумма событий ·  произведение событий
Условная вероятность события B при условии, что событие А произошло	Р(В/А)
Дерево вероятностей
Формула полной вероятности
Формула Байеса (вероятность гипотез)
Основные умения и навыки: ·  оценивать вероятность событий; ·  строить вероятностное дерево исходов; ·  оценивать вероятность сложного события; ·  выдвигать гипотезы и оценивать их вероятности.

Основные понятия

Теория вероятностей как математическая наука изучает случайные события, которые повторяются многократно, и, быть может, с разными значениями в заданных условиях наблюдения. Такие события характеризуются вероятностью их появления.

Под опытом понимают выполнение определенных условий, при которых наблюдается изучаемое явление. Стрельба по мишени, бросание монеты, вынимание шаров из урны, бросание игрального кубика – все это примеры опытов. Событие – это результат опыта. События принято обозначать латинскими буквами А, В, С…

Событие называется случайным, если оно может произойти в данном опыте, а может и не произойти.

Пример 1.

·  Производится выстрел по мишени: событие А={попадание в мишень}, событие В={промах}.

·  Бросают монету: событие С={выпал герб}, событие D={выпало число (решка)}.

·  В урне находятся черные и белые шары, из урны извлекают один шар: событие Е ={извлечен черный шар}, событие F={извлечен белый шар}.

·  Бросают игральный кубик: событие G={выпало число 1}, событие N={выпало число 2}.

События А и В, С и D, Е и F, G и N – это случайные события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в данном опыте.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном опыте.

Пример 2.

·  В урне находятся только черные шары и из урны вынимают один шар: событие Н={извлечен черный шар} является достоверным (так как всегда вынимают черный шар); событие L={извлечен белый шар} является невозможным.

·  Бросают кубик: событие К={выпало какое-то число от 1 до 6} является достоверным (так как всегда выпадает какое-то число от 1 до 6); событие М={выпало число 7} является невозможным.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого.

Пример 3.

·  Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие А={попадание 1-го стрелка в мишень}, событие В={попадание 2-го стрелка в мишень}. Это совместные события, так как возможна ситуация, когда оба стрелка попадут в мишень.

·  Бросают две монеты. Событие С={выпал герб на 1-й монете}, событие D={выпал герб на 2-й монете}. Эти совместные события, т. к. возможна ситуация, когда на обеих монетах выпадет герб.

·  В 1-й урне находятся черные и белые шары, а во 2-й – красные и синие. Из каждой урны вынимают по одному шару. Событие Е={из 1-й урны извлечен черный шар}, событие F={из 2-й урны извлечен красный шар}. Это совместные события, так как возможна ситуация, когда события Е и F произойдут одновременно.

·  Бросают два кубика. Событие G={на 1-м кубике выпало число 1}, событие N={на 2-м кубике выпало число 1}.Это совместные события, так как возможна ситуация, когда одновременно выпадут две единицы.

Два события называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление другого.

События А и В из примера 1- несовместные события, они не могут произойти одновременно. События С и D, Е и F, G и N - попарно несовместные события.

Множество событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны (то есть никакие два из них не могут произойти одновременно) и какое-то из них обязательно произойдет.

Пример 4. Бросают игральный кубик. Событие Аi ={выпало число i}, i=1,2,3,4,5,6. Эти 6 событий образуют полную группу событий, так как всегда выпадает какое-то число от 1 до 6 и невозможна ситуация, когда при одном бросании выпадают сразу два числа.

Противоположные события – это полная группа из двух событий. Одно из противоположных событий обозначается буквой, другое – той же буквой с чертой (например, А и ).

События С и D из примера 1 – противоположные события: D = .

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаще других. Каждое равновозможное событие, которое может произойти в данном опыте, называется элементарным исходом.

События из примера 4 – равновозможные события. Аi – элементарные исходы, i=1,2,3,4,5,6.

События С и D из примера 1 – равновозможные события. С и – элементарные исходы.

Элементарные исходы, при которых наступает некоторое событие, называются элементарными исходами, благоприятствующими этому событию.

В примере 4 событию А={выпало четное число} благоприятствует выпадение 2, 4 или 6 (то есть элементарные исходы Аi, i=2,4,6). Событию В={выпало простое число}, благоприятствует выпадение 2,3 или 5 ( то есть элементарные исходы Ai, i=2,3,5).

Вероятностью события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А, к числу n всех равновозможных исходов опыта:

.

В примере 4 событию А={выпало четное число} благоприятствуют m=3 элементарных исхода, а всего возможно n=6 элементарных исходов. Следовательно, Р(А)=m/n=3/6=0,5.

Аналогично событию В={выпало простое число} - Р(В)=m/n=3/6=0,5.

Простейшие свойства вероятности.

1. 

2.  Вероятность достоверного события равна 1.

3.  Вероятность невозможного события равна 0.

4.  , где А – случайное событие.

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество из n различных элементов и из него выбирают случайным образом m элементов ( ). Эти m-элементные подмножества могут отличаться: составом элементов; порядком следования элементов; объемом подмножества; возможностью повтора элементов в подмножестве. В соответствии с этим выделяют следующие виды подмножеств.

Размещения – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов. Число всех размещений из n-элементов по m (где m < n), определяется по формуле:

. При этом и 0! = 1.

Пример 5. Отдел кадров выбирает из 8 кандидатов 3 человек на различные должности (все 8 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 8 кандидатов?

.

Перестановки – любые упорядоченные множества, в которые входят по одному все n различных элементов исходного множества. Число всех перестановок из n элементов определяется по формуле:

!

Пример 6. Наладчик обслуживает на участке 7 станков. Сколькими способами можно поставить 7 станков в очередь?

.

Сочетания – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом элементов (порядок их следования не важен!). Число всех сочетаний из n элементов по m (где m < n), определяется по формуле:

.

Пример 7. Сколькими способами можно составить контрольную группу из двух деталей из партии 25 деталей?

.

Действия с вероятностями

Суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них, то есть могут появиться либо только событие А, либо только событие В, либо события А и В одновременно.

Пример 8.

·  Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие А={попадание 1-го стрелка}, событие В={попадание 2-го стрелка}. Тогда сумма А+В событий А и В – это попадание в мишень хотя бы одного из стрелков.

·  Подбрасывают две монеты. Событие С={выпал герб на 1-й монете}, событие D={выпал герб на 2-й монете}. Тогда сумма С+D событий А и D – это появление хотя бы одного герба в двух бросаниях.

·  Из урны, в которой находятся белые и черные шары, вынимают два шара. Событие Е={1-й вынутый шар черный}, событие F={2-й вынутый шар черный}. Тогда сумма Е+F событий Е и F – это появление хотя бы одного черного шара.

·  Подбрасывают два раза кубик. Событие G={при 1-м бросании выпало 1}, событие Н={при 2-м бросании выпало 1}. Тогда сумма G+H событий G и H – это появление хотя бы одной единицы в двух бросаниях кубика.

Теорема: вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В), где А и В – несовместные события. Теорема верна и для n попарно несовместных событий.

Следствие. Рассмотрим противоположные события А и . Эти события несовместны. Тогда событие А+ заключается в том, что произойдет либо только событие А, либо только событие , то есть событие А+ достоверное. Тогда Р(А+)=1. Но Р(А+) = Р(А)+Р(). Поэтому Р()=1-Р(А).

Рис. 1. Геометрическая интерпретация суммы событий и произведения событий.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в их одновременном появлении.

Пример 9.

·  произведение АВ событий А и В – это попадание в мишень обоих стрелков;

·  произведение CD событий С и D – это выпадение двух гербов;

·  произведение EF событий Е и F - это то, что оба вынутых шара будут черного цвета;

·  произведение GH событий G и Н - это выпадение двух единиц при двух бросаниях кубика.

Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Пример 10. Из урны, в которой находятся 8 белых и 12 черных шаров, последовательно вынимают два шара и обратно не возвращают. Событие А={1-й вынутый шар черный}, событие В={2-й вынутый шар черный}. Выясним, зависимы ли события А и В.

Пусть произошло событие A, то есть 1-й вынутый шар черный. Тогда в урне осталось 19 шаров, из них 11 черных. Поэтому вероятность события B равна P(B) = 11/19 (всего 19 вариантов, из них 11 благоприятствуют событию B).

Пусть теперь не произошло событие A, то есть произошло противоположное событие = {1-й вынутый шар не черный} = {1-й вынутый шар белый}. Тогда в урне осталось 19 шаров, из них по-прежнему 12 черных. Поэтому вероятность события В Р(В)=12/19 (всего 19 вариантов, из них 12 благоприятствуют событию В.

Следовательно, вероятность появления события В зависит от появления события А.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: Р(А)=Р(А)Р(В), где А и В – независимые события.

Пример 11. Система, состоящая из двух работающих независимо друг от друга устройств, функционирует исправно только при одновременной работе этих устройств. Вероятности работы 1-го и 2-го устройства равны соответственно 0,8 и 0,9. Какова вероятность функционирования системы в целом?

Событие А={работает 1-е устройство}, событие В={работает 2-е устройство}. По условию Р(А)=0,8 и Р(В)=0,9. Произведение событий АВ={работают оба устройства}={работает система}.

Так как события А и В независимы (устройства работают независимо друг от друга), то Р{работает система}=Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,8∙0,9=0,72.

Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В при условии, что событие А произошло. Тогда для зависимых событий Р(В/А)Р(В/). Для независимых событий Р(В/А)=Р(В/)=Р(В).

В примере 10 Р(В/А)=Р(2-й вынутый шар черный при условии, что 1-й вынутый шар черный)=Р(2-й вынутый шар черный/1-й вынутый шар черный)=11/19.

Р(В/)=Р(2-й вынутый шар черный при условии, что 1-й вынутый шар не черный)=Р(2-й вынутый шар черный/1-й вынутый шар не черный)=12/19.

Поэтому события А и В зависимы.

Теорема. Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятностей: Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).

Пример 12. Вероятность получения патента равна 0,7 а вероятность получения дохода в случае получения патента равна 0,8. Определим вероятность получения дохода.

Нам известны вероятность Р(получение патента)=0,7 и условная вероятность Р(получение дохода в случае получения патента)=0,8. Тогда Р(получение дохода)=Р(получение патента)∙Р(получение дохода в случае получения патента)=0,7∙0,8=0,56.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без учета вероятности произведения этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Если события А и В несовместны, то АВ - невозможное событие. Тогда Р(АВ)=0.

Пример 13. Найдем вероятность выпадения хотя бы одной единицы при двух бросаниях кубика. Событие А={при 1-м бросании выпало 1}, событие В={при 2-м бросании выпало 1}. Тогда А+В={хотя бы один раз выпало 1}.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=1/6+1/6-1/36=11/36.

Дерево вероятностей

Дерево вероятностей рисуют слева направо. Опыты обозначаются в виде кругов, а каждый исход – сплошной линией (ветвью), идущей от соответствующего круга. Около каждой ветви указывается вероятность соответствующего исхода. Сумма вероятности на ветвях, выходящих их одного круга, равна 1. Двигаясь по ветвям и перемножая соответствующие вероятности, в конце пути получают вероятность сложного события. Сложив нужные вероятности, находят вероятность искомого события.

Пример 14. В первой урне находятся 7 белых и 9 черных шаров, во второй урне находятся 6 белых и 4 черных шаров. Из 1-й урны во 2-ю переложили 2 шара, а затем из 2-й урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Было проведено три опыта:

1.  извлекли из 1-й урны первый шар и переложили его во 2-ю урну;

2.  извлекли из 1-й урны второй шар и переложили его во 2-ю урну;

3.  из 2-й урны извлекли один шар.

Поэтому дерево вероятностей содержит три уровня вершин. Так как каждый раз возможны два исхода, то из каждой вершины выходят две ветви. Над каждой ветвью пишут названия соответствующего исхода (белый или черный), а под ветвью – вероятность появления этого исхода.

Всего в этом дереве 8 возможных путей: белый, белый, белый; белый, белый, черный; …; черный, черный, черный (см. рис. 2). Чтобы найти вероятности искомых событий, вероятности их составляющих элементарных событий перемножаются.

Рис. 2. Дерево событий к примеру 14.

Для ответа на вопрос о вероятности извлечения белого шара из 2-й урны нужно сложить вероятности тех событий, у которых на последнем месте написано "белый":

7/17∙6/15∙8/12 + 7/16∙9/15∙7/12 + 9/16∙7/15∙7/12 + 9/16∙8/15∙6/12 = 55/96.

Формула Байеса

Часто, приступая к анализу данных, имеются предварительные (априорные) значения вероятностей интересующих событий. После проведения опыта вероятности меняются. Чтобы получить новые (апостериорные) значения вероятностей применяют формулу Байеса.

Предположим, что возможно появление события А вместе с одним из событий, образующих полную группу событий (их называют гипотезами). Вероятности гипотез известны. Провели опыт и произошло событие А. Как изменились вероятности гипотез? Строим дерево вероятностей и по нему находим ответ.

Пример 15. Предприятие рассматривает вопрос о выпуске нового товара на рынок. Вероятность успеха рекламной кампании оценивается в 0,8. В случае успешной рекламной кампании вероятность успешного выпуска нового товара на рынок составляет 0,6. В случае неудачи рекламной кампании вероятность успешного выпуска товара на рынок оценивается в 0,3.

Рекламная компания оказалась успешной. Как изменилась вероятность успешного выхода нового товара на рынок?

Сначала определим вероятность успешного выпуска нового товара на рынок. Было проведено два опыта: 1) провели рекламную кампанию; 2) выпустили товар на рынок. Поэтому дерево вероятностей содержит два уровня вершин. Так как каждый раз возможны два исхода, то из каждой вершины выходят две ветви. Над каждой ветвью пишем название соответствующего исхода, а под ветвью – вероятность появления этого исхода.

Для определения вероятности успешного выхода товара на рынок нужно сложить вероятности событий, у которых на последнем месте написано "успешный": 0,8∙0,6 + 0.2∙0,3 = 0,54. Это априорное значение вероятности.

Из условия известно, что рекламная компания оказалась успешной (опыт произошел). Апостериорная вероятность успешного выхода товара на рынок определяется отношением: 0,8∙0,6/0,54 = 0,89.

Рис. 3. Дерево событий к примеру 15.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Известно, что среди 23 приборов имеется 3 бракованных. Какова вероятность при случайном отборе взять бракованный?

Задача 2. Из семи карточек разрезной азбуки сложено слово КОРОБОК. Найти вероятность того, что если наугад по очереди взять из этих карточек три и выложить в ряд в порядке появления, то получится слово РОК.

Задача 3. Из чисел от 1 до 10 случайно выбираются три различных числа. Найти вероятность того, что все эти три числа нечетные.

Задача 4. Найти вероятность того, что все восемь книг на полке будут расставлены по алфавиту.

Задача 5. Из урны, в которой находятся 8 белых и 12 черных шаров, последовательно вынимают два шара и обратно не возвращают. Событие А – первый вынутый шар черный, событие В – второй вынутый шар черный. Выяснить, зависимы ли события А и В.

Задача 6. Система, состоящая из двух работающих независимо друг от друга устройств, функционирует исправно только при одновременной работе этих устройств. Вероятности работы первого и второго устройств равны соответственно 0,8 и 0,9. Какова вероятность функционирования системы в целом?

Задача 7. Вероятность получения патента равна 0,7, а вероятность получения дохода в случае получения патента равна 0,8. Определить вероятность получения дохода.

Задача 8. В задаче 1 найти вероятность того, что первый вынутый шар белый, а второй вынутый шар черный.

Задача 9. В первой урне находятся 8 белых и 6 черных шаров, во второй – 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй урны извлекли 1 шар. С помощью "дерева вероятностей" найти вероятность того, что этот шар черный.

Задача 10. По оценкам отдела маркетинга, вероятность роста объема продаж предприятия в ближайшее время равна 0,7. Из прошлого опыта известно, что положительные прогнозы отдела маркетинга сбываются в 85% случаях, а отрицательные – в 90% случаях. С помощью "дерева вероятностей" определить вероятность роста объема продаж предприятия в ближайшее время.

Задача 11. На заводах А и В изготовлено 75% и 25% всех деталей соответственно. Из прошлых данных известно, что 10% деталей завода А и 20% деталей завода В оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она изготовлена на заводе А?

Задача 12. Производственная линия оснащена автоматикой для выявления бракованных деталей. Производитель утверждает, что доля бракованных деталей равна 3%. Если деталь бракованная, то автоматика определит ее как бракованную в 85% случаев. Автоматика определяет хорошие детали как бракованные в 5% случаев. Очередная деталь отнесена автоматикой к числу бракованных. Определить вероятность того, что деталь действительно бракованная.

Задача 13. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Задача 14. Два из трех независимо работающих элементов контрольного датчика отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.

Задача 15. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7; а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

Задача 16. Оператор радиолокационной станции фиксирует самолет противника с вероятностью 0,8 и принимает помеху за самолет с вероятностью 0,1. Практика показала, что в 15% случаев на экран оператора попадает помеха. Оператор принял решение о наличии в воздушном пространстве самолета противника. Определить вероятность того, что сигнал получен действительно от самолета.