Тема: Пирамида

Тема: Пирамида

Цель: ввести понятие пирамиды и её элементов, понятие различных видов пирамид, научить строить изображение пирамид.

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды 

1) Если все боковые ребра равны, то 

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные  равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно  вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда  это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Пирамида, призма. Формулы объема и площади поверхности

Образцы задач ЕГЭ В 11 по теме «Пирамида»
Правильная треугольная пирамида
1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?	1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 36 раз?
2. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?	2. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в три раза?
3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 3, а высота равна 6.	3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .
4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .	4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а объем равен 4.
Правильная четырёхугольная пирамида
1. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.	1. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.	2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
3. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.	3. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
4. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.	4. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 48 и высота равна 7.
5. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.	5. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 24 и высота равна 16.
6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.	6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 5, объем равен 480. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Правильная шестиугольная пирамида
1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.	1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 18, боковые ребра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
2. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.	2. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 48. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
3. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.	3. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объем пирамиды.
4. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.	4. Объем правильной шестиугольной пирамиды 2592. Сторона основания равна 12. Найдите боковое ребро.
5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 450. Найдите объем пирамиды.	5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, а угол между боковой гранью и основанием равен 450. Найдите объем пирамиды.