Введение в биометрию (стр. 6 )

- адреса ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения (в которых хранятся значения параметров);

- ограничения (типа «≥»).

4. Щелкнуть по кнопке Выполнить. В ячейке целевой функции появится значение 23, а в ячейках параметров – значения 3 и 1 (Приложение 6).

Резюмируем и дополним сказанное. Введение в биологию измерений со всеми вытекающими последствиями неизбежно требует обращения к физике, химии, математике и информатике. Живые существа являются высокоорганизованными системами, как на молекулярном уровне, так и на уровне экосистем. Поэтому, вполне естественно утверждать, что основная цель биометрии заключается в изучении теории и практики этой организации во всей ее сложности и гибкости, в ее действии и эволюции. И если первый этап биометрии заключается в том, чтобы определить такие факторы, как вес, рост, количество и т. п., то второй – заинтересоваться соотношениями: больше чем…, более изменчив чем…, больше напоминает…, более чувствителен к…, и т. д., и, наконец, третий – углубиться в раскрытие структуры существенных характеристик избранных объектов. Иначе говоря, если биологический объект может быть описан n – характеристиками, то тогда его можно представить как точку в n –мерном пространстве, в котором множество таких объектов образует облако из данных точек. И в этом многомерном пространстве ставятся следующие вопросы:

- Каким образом эти объекты связаны между собой?

- Насколько они различны?

- Насколько сложна их совокупность?

- Насколько она стабильна на том уровне, на котором к ним подходят?

Итогом работы учащихся по данному курсу может стать выполнение практических заданий примерно следующего содержания:

Задание 1. [5, с. 185]. Внутривидовая конкуренция в популяции с дискретным размножением.

Для популяций с дискретным размножением (некоторые виды растений, насекомых и т. д.) поколения четко разнесены во времени и особи разных поколений не сосуществуют. Численность такой популяции можно характеризовать числом Nt и считать t величиной дискретной – номером популяции.

Одна из моделей внутривидовой конкуренции в этом случае выражается уравнением

N t+1 = .

Здесь R – скорость воспроизводства популяции в отсутствии внутривидовой конкуренции (математически это соответствует случаю а = 0). Тогда уравнение определяет просто изменение численности популяции по закону геометрической прогрессии: Nt = N0Rt , где N0 – начальная численность популяции.

Знаменатель в уравнении отражает наличие конкуренции, делающей скорость роста тем меньше, чем больше численность популяции; a и b – параметры модели.

В рамках данной модели может быть поставлена задача следующего содержания

[5, с. 185, 186, № 43]: «Изучить характер эволюции популяции, описываемый рассматриваемой моделью, при значении параметра b =1, в зависимости от значения параметра а».

Решая эту задачу, в качестве исходных параметров следует принять:

- R - скорость воспроизводства;

- N0 - начальная численность популяции;

- a - параметр, характеризующий интенсивность внутривидовой конкуренции.

Характерная черта эволюции при b=1 – выход численности популяции на стационарное значение при любых значениях других параметров. Однако в Природе так бывает не всегда, и более общая модель при b≠1 отражает другие, более сложные, но реально существующие, виды эволюции. Этих видов модель описывает четыре[5, с. 186]:

1) монотонное установление стационарной численности популяции;

2) колебательное установление стационарной численности популяции;

3) устойчивые предельные циклы изменения численности популяции;

4) случайные изменения численности популяции без наличия явных закономерностей.

С учетом сказанного, возможна постановка и решение следующих задач

[5, с. 186, № № 44, 45]:

1. Провести моделирование при следующих значениях параметров:

1)R=2 (реализуется режим 1);

2)R=2 (реализуется режим 2);

3)R=4 (реализуется режим 3);

4)R=4 (реализуется режим 4)

(N0 и а произвольны) и изучить вид типичных режимов.

2. На фазовой плоскости (b, R) найти границы зон, разделяющих разные режимы эволюции изучаемой системы.

Задание 2. [5, с. 186, 187]. Внутривидовая конкуренция в популяции с непрерывным размножением.

В этом случае численность популяции есть непрерывная функция времени. Вводя малый шаг по времени Δt, рассмотрим скорость изменения численности популяции ΔN/Δt.

Одна из классических задач моделей внутривидовой конкуренции (так называемая логистическая модель) исходит из следующих представлений. В начале эволюции, когда численность популяции еще невелика, удельная скорость роста не зависит от численности: =r.

Затем, с ростом численности, скорость роста начинает уменьшаться и при некотором критическом значении численности популяции К обращается в ноль.

Соответствующая математическая модель имеет вид[5, с. 187]:

Ni+1 = Ni + rNi()Δt.

Исходные параметры:

- r - скорость роста численности популяции в отсутствии конкуренции;

- K - предельное значение численности популяции, при котором скорость роста становится равной нулю;

- N0 - начальная численность популяции.

К модели ставятся задачи[5, с. 187, №№ 46, 47]:

1. Провести моделирование численности популяции при нескольких значениях входящих в модель параметров.

2. Построить (или найти в литературе) альтернативную модель внутривидовой конкуренции и исследовать предсказываемые ею режимы.

Задание 3. [5, с. 187, 188]. Межвидовая конкуренция.

В этом случае исследуется конкуренция популяций, потребляющих общий ресурс. Пусть N1 и N2 – численности конкурирующих популяций. Модель (называемая также моделью Лотки – Вольтера) выражается уравнениями[5, с. 187]:

N1(i+1) = N1(i) + r1N1(i)Δt,

N2(i+1) = N2(i) + r2N2(i)Δt.

Содержательный смысл параметров можно понять из сравнения с предыдущей моделью. Дополнительные параметры α12 и α21 отражают интенсивность межвидовой конкуренции.

Главный вопрос, который интересует исследователя межвидовой конкуренции, - при каких условиях увеличивается или уменьшается численность каждого вида? Данная модель предсказывает следующие режимы эволюции взаимодействующих популяций: устойчивое сосуществование или полное вытеснение одной из них.

Задачи к модели[5, с.188, №№ 48, 49]:

1. Провести моделирование межвидовой конкуренции при значениях параметров r1=2, r2=4, K1=200, K2=180, N2(0)=25, α12=0, 5, α21=0, 65.

2. Построить в фазовой плоскости (N1(0), N2(0)) границы зон, разделяющих различные режимы эволюции конкурирующих популяций. Остальные параметры модели выбрать произвольно. Учесть при этом, что режим устойчивого сосуществования популяций может в принципе реализоваться только при α12α21<1 .

Задание 4. [5, с. 188, 189]. Система «хищник – жертва».

В системе «хищник – жертва» ситуация значительно отличается от предыдущей. В частности, если в случае конкурирующих популяций исчезновение одной означает выигрыш для другой (дополнительные ресурсы), то исчезновение жертвы влечет за собой и исчезновение хищника, для которого в идеализированной модели жертва является единственным кормом.

Обозначим через C численность популяции хищника и через N –популяции жертвы. Одна из известных моделей выражается следующими уравнениями[5, с.188]:

Ni+1=Ni + (rNi – aCiNi)Δt,

Ci+1=Ci + (faCiNi – qCi)Δt.

В первое уравнение заложен следующий смысл. В отсутствии хищников (т. е. при C=0) численность жертв быстро растет со скоростью, т. к. модель не учитывает внутривидовой конкуренции. Скорость роста числа жертв (т. е. ΔN/Δt ) уменьшается тем больше, чем чаще происходят встречи представителей видов; а – коэффициент эффективности поиска.

Второе уравнение говорит о следующем. В отсутствии жертв численность хищников быстро убывает со скоростью q; положительное слагаемое b в правой части уравнения компенсирует эту убыль; f - коэффициент эффективности перехода пищи в потомство хищников.

Задачи [5, с.189, №№ 50, 51]:

1. Провести моделирование динамики в системе «хищник – жертва» при значениях параметров r=5, a=0, 1, q=2, f=0, 6, N0=150, C0=50. Объяснить полученные результаты.