Семинар 3.ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:
1.Определение первообразной и основные свойства первообразной.
2. Определение неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
3.Свойства неопределенного интеграла.
4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
5. Формула интегрирования по частям и её применение к конкретным типам подынтегральных функций:и т. д.,где 
многочлен n-ой степени.
6. Методы интегрирования простейших алгебраических (рациональных) дробей.
7. Схема интегрирования алгебраической дроби.
8. Методы интегрирования функций вида 
– рациональных функций от 
и 
.
9. Методы интегрирования иррациональных функций вида:
.
Литература.
1.Пискунов и интегральное исчисления. Для вузов. Том 1(любое издание). Москва. Наука.
2., Никольский математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. Москва. Наука.
3., , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для студентов вузов в двух частях. Часть 1(любое издание). Москва. Высшая школа.
4.Писменный лекций по высшей математике. Полный курс(любое издание).
3.1. Основные приемы интегрирования
Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x),если 
.
Если функция 
имеет первообразную 
, то любая функция вида 
, где 
произвольная постоянная, также является первообразной для .
Множество первообразных называются неопределенным интегралом и обозначается символом 
,при этом функция называется подынтегральной,
подынтегральным выражением, а переменная 
переменной интегрирования.
Восстановление функции по ее производной называется интегрированием функции. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию и, чтобы сделать проверку, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие его свойства:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
, где 
6. Если и 
,то 
Таблица основных интегралов.
Вычисление интегралов с помощью использования таблицы основных интегралов и свойств называется непосредственным интегрированием.
Пример 1.Найти интеграл 
Решение. Проводя деление и используя свойства 4-5 неопределенного интеграла, получим:
Пример 2. Найти интеграл 
Решение. Проводя преобразования, получим
Пример 3.Найти интеграл 
Pешение. Преобразуем подынтегральную функцию
Тогда, 
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет переходить к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.
Замена переменной в неопределенном интеграле осуществляется с помощью подстановок двух типов. Если 
новая переменная, то формула замены переменной имеет вид: 
.
Если 
новая переменная, то формула замены переменной имеет вид: 
.
Пример 4. Найти интеграл
Решение. Так как 
, то можно ввести новую переменную 
и записать интеграл в следующем виде 
.
Ответ должен быть выражен через старую переменную 
. Следовательно,
Пример 5. Найти интеграл 
Решение. С помощью замены
этот интеграл сводится к табличному. Действительно 
. Отсюда,
Заметим, что если 
то 
вычисляется с помощью подстановки 
. Действительно,
и
Пример 6. Найти интеграл 
Решение. Этот интеграл приводится к табличному подстановкой 
.
Тогда 
и 
.
Пример 7.Найти F(1), если F
первообразная функции 
и F(0)=.
Решение. Найдем
.Применим подстановку 
и 
Тогда 
Константу С найдем из условия F(0)= или 
.Тогда С=1 и по условию задачи речь идет о первообразной вида 
значение которой в точке 
равно 
.
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
Для применения этого метода подынтегральное выражение следует представить в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. При этом за “u” берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за 
та часть подынтегрального выражения, интеграл от которого известен.
Рассмотрим применение метода интегрирования по частям к вычислению интегралов некоторых типов.
В интегралах вида 
где 
многочлен, полагают 
Пример 8. Найти интеграл 
.
Решение. Положим 
; тогда 
Применяем формулу интегрирования по частям:
В интегралах вида 
также в качестве “u” выбирают многочлен 
, а за соответственно выражения 
Пример 9. Найти интеграл 
.
Решение.Положим 
Тогда, 
. Применив формулу интегрирования по частям, получим :
Снова интегрируем по частям, полагая 
Тогда
+ C
В интегралах вида: 
в качестве 
берётся соответственно функция:
Пример 10.Найти интеграл: 
Решение. Положим 
откуда 
и 
. Применив интегрирования по частям, получим: 
Вычислим 
Окончательно, 
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интегралы:
Найти интегралы, применяя указанную подстановку:
Найти интегралы, применив формулу интегрирования по частям:
Ответы:
= = = = =
