ЮЗГУ - 2011

Кафедра высшей математики

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

© Каф. ВМ.

Ряд называется функциональным, если члены его являются функциями от х, т. е..

Совокупность значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Сумма функционального ряда .

Остаток функционального ряда .

Для всех сходящихся в области Х рядов выполняется условие: при всех .

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (1)

где - постоянные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; - фиксированная точка на числовой оси.

При = 0 степенной ряд имеет вид

(2)

Если при ряд (2) сходится, а при расходится, то интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (2). Число R

называют радиусом сходимости степенного ряда (2).

Определение радиуса сходимости степенного ряда:

или.

Замечание 1. Возможны случаи, когда или .

Замечание 2. Интервалом сходимости степенного ряда (1) является интервал .

Замечание 3. Для определения области сходимости степен - ного ряда необходимо исследовать сходимость данного ряда на концах интервала сходимости.

Замечание 4. Степенной ряд можно почленно интегрировать (дифференцировать) в любой точке интервала сходимости, причем после интегрирования (дифференцирования) получаем степенной ряд с тем же интервалом сходимости.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Если функция бесконечно дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку , то разложение функции в ряд

называется рядом Тейлора только тогда, когда в рассматриваемом интервале .

Разложение функции в ряд Маклоренa (при )

Основные разложения
РЯДЫ ФУРЬЕ

Теорема Дирихле. Функция , удовлетворяющая в интервале (-π;π) условиям Дирихле (т. е. функция равномерно ограничена, имеет не более чем конечное число точек разрыва 1 рода и точек строгого экстремума) во всякой точке х этого интервала, в которой непрерывна, разлагается в тригонометрический ряд Фурье

=, (3)

где коэффициенты Фурье определяются по формулам: ;

;

Неполные ряды Фурье

Если функция - четная, то коэффициенты ряда (3):

, (n = 0,1,2,...)

Если функция - нечетная, то коэффициенты ряда (3):

, (n = 1,2,..)

Ряды Фурье периода

Если функция , удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (-ℓ;ℓ) длины 2ℓ, то в точках непрерывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо разложение

=,

где (n = 0,1,2,…),

(n = 1,2,…).