УДК 539.4:624.07

РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ КРУГОВОГО ОЧЕРТАНИЯ С ЖЕСТКИМИ ЗАКРЕПЛЕНИЯМИ ПО КОНЦАМ НА РАДИАЛЬНУЮ НАГРУЗКУ

1, 2

ФГБОУ ВО «Саратовский государственный технический университет имени », Россия, Саратов, к. т.н. доцент кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций»1

ФГБОУ ВО «Саратовский государственный технический университет имени », Россия, Саратов, студент2

Аннотация. Рассмотрен стержень кругового очертания. На основе операционного исчисления, связанного с преобразованием Лапласа, получены аналитические выражения для определения перемещений, усилий и момента в стержне при любом центральном угле.

Ключевые слова: стержень, закрепление, нагрузка, перемещение, усилие, момент, оригинал, изображение.

CALCULATION OF ROD CIRCULAR SHAPE WITH RIGID PINS AT THE ENDS FOR RADIAL LOAD

Shagivaleev Kamil' Fatykhovich1, Surnin Dmitry Arkad’evich2

Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education «Yuri Gagarin State Technical University of Saratov», Russia, Saratov, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor at the Department of « Theory of structures and building structures»1

Federal State-Funded Educational Institution of Higher Education «Yuri Gagarin State Technical University of Saratov», Russia, Saratov, student2

Annotation. Considered a core circular shape. On the basis of the operational calculus associated with the Laplace transform, the analytical expressions to determine the displacements, efforts and time in the web for any Central angle.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Keywords: terminal, pin, load, displacement, force, moment, original, image.

Круговые стержни находят широкое применение во многих областях современной техники: промышленном и гражданском строительстве, мостостроении, машиностроении, судостроении, самолетостроении, строительстве специальных сооружений и т. д. Поэтому совершенствование методов расчета таких стержней представляет для строительной механики практический интерес.

Круговой стержень рассчитывают независимо для нагрузок в плоскости стержня и из его плоскости. Поэтому расчет стержня следует начинать с разложения внешних нагрузок по трем направлениям: радиальном, тангенциальном и по бинормали. Затем следует перенести все нагрузки в данном сечении на ось стержня с добавлением соответствующих изгибающих и крутящих моментов.

Обозначения, положительные направления перемещений, усилий и моментов, допущения, дифференциальные зависимости приняты в соответствии с работой [1].

Основные дифференциальные зависимости расчета плоского кругового стержня имеют вид:

(1-3)

Отсюда видно, что после проектирования внешней нагрузки на плоскость стержня и перпендикулярно к ней уравнения распадаются на две независимые группы: левая группа уравнений описывает изгиб стержня в его плоскости, а правая – из его плоскости.

Рассмотрим изгиб кругового стержня, имеющего по концам жесткие закрепления и нагруженного в его плоскости на участке равномерно распределенной радиальной нагрузкой q (рис.1):

(4)

Рис.1. Изгиб кругового стержня

Граничные условия при рассматриваемом способе опирания стержня имеют вид: при

(5)

Продифференцируем по первое уравнение системы (1) и из полученного результата вычтем второе уравнение системы (1), при будем иметь:

( (6)

Для решения дифференциального уравнения (6) применим операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа [2]. Полагая , по теореме дифференцирования оригинала [2] получим:

((7)

где - комплексный параметр;

- произвольные постоянные.

Изображение для рассматриваемой нагрузки (4) имеет вид [2]:

((8)

Переходя в уравнении (6) от оригиналов к изображениям (7),(8), получим операторное уравнение:

.

((9)

Из (9) находим:

((10)

Переходя в выражении (10) от изображений к оригиналам [2], получим искомое решение:

((11)

где - единичная функция, которая при равна 1 и при равна 0;

- единичная функция, которая при равна 1 и при равна 0.

Обращаем внимание на то, что единичные функции и приняты только для сокращения записи выражения.

Так, например, если записать выражение для без единичных функций, то будем иметь:

на участке

(12)

на участке

на участке

Из первого уравнения системы (1) найдем:

( (13)

Учитывая (11), будем иметь:

(14)

Выразив в третьем уравнении системы (1) через перемещение , а вместо подставив выражение (14), будем иметь:

(15)

Для решения дифференциального уравнения (15) применим операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа [2]. Полагая и учитывая граничные условия при (5), по теореме дифференцирования оригинала [2] получим:

(16)

где - произвольная постоянная.

Переходя в уравнении (15) от оригиналов к изображениям (16), получим операторное уравнение, из которого найдем :

(17)

Переходя в выражении (17) от изображений к оригиналам [2], получим искомое решение:

(18)

Имея , по дифференциальным зависимостям (1) можно записать выражения для перемещений, усилий и моментов.

Произвольные постоянные находим из граничных условий при (5). Ввиду громоздкости все операции не приводятся.

Окончательно решение уравнения (15) имеет вид:

(19)

где

Выражения для перемещения момента и усилий:

(20)

Выражения (19), (20) получены в общем виде. Они позволяют рассчитать круговой стержень в его плоскости при любом положении равномерно распределенной радиальной нагрузки q по длине стержня, при различных размерах участка нагружения и при различных значениях центрального угла .

Результаты работы могут найти применение в научных и проектных организациях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник. Т.1.М.: Машиностроение, 1968. - 831 с.

2. Араманович комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / , , . – М.: Наука, 1968. – 416 с.