Разложение векторов по составляющим (стр. 4 )

Пусть и не компланарны. Тогда по свойству 3

и, следовательно:

Пусть и компланарны, но и не коллинеарны. Тогда по свойству 1 и следовательно:

Пусть и коллинеарны и Тогда по признаку коллинеарности и следовательно

И наконец, если то

)

8. Непрямоугольные системы координат

Возможность разложения векторов пространства по трем некомпланарным векторам позволяет вводить в пространстве не только прямоугольные системы координат. Рассмотрим один пример.

Пример 6. Пусть OABC — правильный тетраэдр с ребром a. Примем точку O за начало системы координат. Рассмотрим некомпланарные векторы и в указанном порядке выберем их в качестве базиса системы координат. Тогда каждый вектор пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

Упорядоченную тройку чисел (x;y;z) будем считать координатами точки M в системе координат с началом O и базисом .

Таким способом каждой точке пространства ставится в соответствие единственная тройка чисел (x;y;z), а каждой тройке чисел (x;y;z) ставится в соответствие единственная точка M такая, что

Вопрос. Какой базис имеет рассмотренная во втором уроке прямоугольная система координат?

(Подсказка. Выберем на координатных осях точки A(1;0;0), B(0;1;0) и C(0;0;1). Вектора являются базисом прямоугольной системы координат.)

9. Проверь себя. Разложение векторов по составляющим.

Задание 1.

Выбрать из предложенных вариантов правильные ответы. Правильных ответов может быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные ответы.

Точки A, B, C и D вершины тетраэдра. Выбрать правильные утверждения.

1.  Векторы и коллинеарные.

2.  Векторы , и компланарные.

3.  Векторы , и компланарные.

4.  Векторы , и компланарные.

Ответы: 3, 4.

Точки A, B, C, D A1, B1, C1 и D1 вершины параллелепипеда. Выбрать правильные утверждения.

1.  Векторы и  — сонаправленные.

2.  Векторы и  — коллинеарные.

3.  Векторы , и  — компланарные.

4.  Векторы , и  — компланарные.

Ответы: 2, 4.

Сколько векторов составляют базис пространства?

1.  2.

2.  3.

3.  4.

4.  5.

Ответ 2.

Пусть две прямые заданы формулами и В каких случаях прямые параллельны?

1. 

2. 

3. 

4. 

Ответ: 2, 3, 4.

Задание 2.

Выбрать правильный вариант ответа.

Пусть векторы и неколлинеарны. Определите числа x и y, если векторы и равны.

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

Ответ: 3.

Найдите вектор единичной длины, сонаправленный вектору , если A(2;1;2), B(6;5;4).

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

Ответ: 2.

Определите параметрические уравнения координат точек прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку (1;1;1).

1. 

2. 

3. 

4. 

Ответ: 2.

Домашнее задание

1.  Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Докажите, что векторы и коллинеарны.