§ 2.3. Моделирование процесса разрушения зерна скалыванием
в условиях ударного нагружения.
В качестве объекта, реализующего данный процесс, примем измельчитель скалывающего типа, в котором зерно разрушается между вращающимся ротором и неподвижной декой, с нанесённой на ней насечкой.
Схема процесса разрушения зерна скалыванием в условиях ударного нагружения представлена на рис.21.
Рис.21. Схема процесса разрушения зерна скалыванием
в условиях ударного нагружения.
Учитывая, что скорость вращения ротора достаточно велика, то продолжительность взаимодействия его зуба с зерном при разрушении последнего очень мала. В связи с тем, что за этот очень малый промежуток времени происходит конечное изменение скоростей контактирующих тел (зуба ротора и зерна), а их перемещение пренебрежимо мало, то это позволяет рассматривать данный процесс как ударный.
Из курса теоретической механики известно, что мерой ударного воздействия является мгновенный элементарный импульс ударной силы 
, определяемый по формуле:
, (72)
где: – ударная сила.
Уравнение импульса ударной силы за время удара 
имеет вид:
, (73)
и по теории о среднем значении функции:
, (74)
где: 
– среднее значение ударной силы за время удара .
При действии на зерно ударной силы конечными силами, являющимися малыми того же порядка что и время удара , обычно пренебрегают.
Так как при исследовании ударных воздействий на зерно, в первом приближении, пренебрегают его демпфированием, а коэффициент приведённой жёсткости зерна считают постоянным C=const, то уравнение для определения ударной силы F(t) можно записать в виде:
, (75)
где: m – масса зерна;
C – коэффициент приведённой жёсткости зерна;
y – перемещение зерна.
Так как собственная частота колебаний зерна под действием импульса ударной силы определяется уравнением:
, (76)
то уравнение (75) примет вид:
. (77)
Если в момент времени t=t0 к зерну приложен мгновенный элементарный импульс силы 
, тогда после его воздействия система будет совершать свободные гармонические колебания, описываемые уравнением:
. (78)
Так как в момент времени t=t0 перемещение зерна y=0, то его скорость в соответствии с теоремой об изменении количества движения равна:
, (79)
где: S – проекция импульса силы на ось OY.
При этих начальных условиях 
и С2=0. Следовательно, свободные колебания зерна после ударного воздействия, осуществляются по гармоническому закону, описываемому уравнением:
. (80)
Уравнение (80) можно представить в виде:
, (81)
где:
. (82)
Уравнение (82) называется импульсной реакцией системы и описывает движение, вызываемое единичным импульсом.
В соответствии с уравнением (80) ударная сила F(t) может быть найдена по формуле:
, (83)
или:
. (84)
Максимальное значение ударной силы F(t)max в соответствии с уравнением (84) может быть найдено по формуле:
. (85)
Таким образом, максимальное значение ударной силы F(t)max пропорционально собственной частоте колебаний зерна kС.
Данный факт позволяет выдвинуть гипотезу о том, что разрушение зерна скалыванием в условиях ударного нагружения происходит с наименьшими усилиями в случае, когда частота ударных импульсов kУ соответствует собственной частоте колебаний зерна kC.
Иными словами, минимальные энергетические затраты для разрушения зерна скалыванием в условиях ударного нагружения имеют место при резонансном режиме технологического процесса.
Для проверки достоверности выдвинутой гипотезы определим частоту ударных импульсов kУ и собственную частоту колебаний зерна kC.
Частота ударных импульсов kУ может быть найдена по формуле:
, (86)
где: zР=38 – число зубьев ротора;
VР=10 – скорость вращения ротора, м/с;
RР=0,09 – радиус ротора, м.
Собственная частота колебаний зерна kC может быть найдена по формуле:
, (87)
где: С=808 – приведённая жёсткость одного зерна, (Н/м);
m=0,00005 – масса одного зерна, кг.
Определим расхождение между полученными значениями частоты ударных импульсов kУ и собственной частоты колебаний зерна kC:
. (88)
Так как расхождение между полученными значениями частоты ударных импульсов и собственной частоты колебаний зерна λ составляет приблизительно 5%, то это даёт основание утверждать о правомерности предложенной гипотезы.
