Глава 3
РЯДЫ
1. Числовой ряд. Сходимость ряда и его сумма
Числовые ряды – одна из форм изучения числовых последовательностей. Напомним, что числовая последовательность (n=1,2,3,...) считается заданной, если известен закон, по которому можно вычислить любой ее член an при данном n.
Определение. Пусть дана числовая последовательность {an}. Выражение вида:
называется числовым рядом; элементы заданной числовой последовательности называют членами ряда, 
– его общим членом.
Суммирование может начинаться с любого целого номера n.
Определение. Зададим числовую последовательность {Sk}, где:
Такую последовательность называют последовательностью частичных сумм ряда ( k n ).
Определение. Ряд вида:
,
полученный из заданного ряда отбрасыванием m первых членов, называется
m-м остатком ряда.
Определение. Ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм:
,
в противном случае ряд называется расходящимся. Число S называется суммой ряда.
Пример 1. Задана геометрическая прогрессия со знаменателем q:
.
Исследовать сходимость этого ряда.
Решение. Рассмотрим частичную сумму
. (а)
Умножим обе части равенства (а) на q:
. (b)
Вычтем из выражения (а) почленно выражение (b):
. (с)
Если | q | >1, то можно показать, что последовательность {qk} бесконечно большая, т. е. 
. Переходя в равенстве (c) к пределу при k
, получим 
, и ряд расходится.
Если | q | <1, то можно показать, что последовательность {qk} бесконечно малая, т. е. 
. Переходя в равенстве (c) к пределу при k, получим: 
, следовательно, ряд (a) сходится при | q | <1, и его сумма 
.
Если | q | =1, то очевидно, что ряд расходится.
Пример 2. Найти сумму ряда, если его общий член an = 
.
Решение. Запишем выражение для частичной суммы данного ряда, применяя разложение выражения под знаком суммы на простейшие дроби:
.
Перейдем к пределу при :
.
Следовательно, данный ряд сходится, и его сумма S=1.
2. Основные теоремы о сходимости числовых рядов
Прежде чем вычислять сумму ряда, неплохо убедиться, что он сходится. Приведем несколько важных теорем о сходимости числовых рядов
Теорема 1. Если ряд 
сходится, то любой его остаток сходится, и обратно: если остаток сходится, то сходится и сам ряд.
Теорема 2. Пусть ряд 
сходится, и число S является его суммой: 
. Тогда для любого числа сходится и ряд , и его суммой является число 
:
.
Теорема 3. Пусть 
,
, тогда .
Теорема 4. Если ряд 
сходится, то его общий член an стремится к нулю, если же 
, то ряд расходится.
Последняя теорема содержит необходимое условие сходимости ряда, при нарушении которого ряд расходится, но для сходимости ряда этого условия недостаточно. Бывают случаи, когда даже при его выполнении ряд расходится.
Пример. Гармонический ряд.
Гармоническим рядом называется числовой ряд: 
. Очевидно, что 
. Общий член стремится к нулю, но, тем не менее, гармонический ряд расходится.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Предположим, что гармонический ряд сходится. Тогда можно записать
, но
–
.
Переходя к пределу при k, получим 0>
.
Мы доказали, что гармонический ряд расходится.
3. Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов
Пусть дан ряд , где (n): 
.
Последовательность частичных сумм такого ряда, является неубывающей: Sk+1Sk , т. к. Sk= , Sk+1=Sk+ak+1. Пусть эта последовательность ограничена: существует такое число М>0, что( kN): |Sk|<M. По известной теореме Вейерштрасса, неубывающая ограниченная последовательность имеет конечный предел.
Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм 
была ограничена.
Приведем без доказательства несколько достаточных признаков сходимости положительных рядов.
Признак сравнения 1. Пусть для рядов 
и 
выполняется условие: существует N такое, что 
для любого n N. Тогда, если ряд сходится, то сходится и ряд , если же ряд расходится, то расходится и ряд .
Пример. Исследовать сходимость ряда 
.
Решение. Очевидно, что 
. Видим, что ряд с большими членами 
– геометрическая прогрессия со знаменателем
q = <1 сходится, и его сумма 
. Значит, сходится и данный ряд.
Признак сравнения 2. Если существует предел 
(bn>0), то оба ряда или сходятся, или расходятся одновременно.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
.
Решение. Сравним этот ряд с гармоническим 
:
0 , по второму признаку сравнения оба ряда расходятся, так как известно, что гармонический ряд расходится.
Признак Даламбера. Пусть 
– знакоположительный ряд, и существует предел 
, тогда данный ряд сходится при p<1 и расходится при p>1.
При p=1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. В этом случае ряд или сходится, или расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
.
Решение. 
, ;
.
Переходим к пределу при n :
p 1, следовательно, ряд сходится.
Признак Коши. Пусть общий член ряда аn 0, и существует предел 
. Тогда, ряд 
сходится при q< 1 и расходится при q>1 .
При q=1 признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Пример. Исследовать сходимость ряда: 
.
Решение. =
, и ряд сходится по признаку Коши.
4. Знакопеременные ряды
Определение. Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит как положительные, так и отрицательные слагаемые.
Определение. (Знакочередующиеся ряды).
Знакочередующимся называется ряд вида
, где an>0.
При n нечетном общий член ряда отрицателен, при четном – положителен.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряду {an } – монотонно убывающая последовательность и 
, то ряд сходится.
Пример. Определить , сходится ли ряд: 
.
Решение. Ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:
1. Ряд знакочередующийся: 
= 
.
2. Последовательность 
={1, , 
,...,
} – монотонно убывающая.
3. Необходимое условие сходимости выполняется: 
=0.
Значит, по признаку Лейбница ряд сходится.
5. Функциональные ряды
Пусть задана последовательность, элементами которой являются функции , где xX .
Определение. Функциональным называется ряд, члены которого являются функциями x : .
Отметим, что при каждом фиксированном х будем получать числовые ряды, которые могут сходиться или расходиться.
Определение. Обозначим
последовательность частичных сумм функционального ряда. Функциональный ряд называется сходящимся на множестве D, если существует предел последовательности частичных сумм:
.
Функция S(x) (xD, DX) называется суммой функционального ряда.
Определение. Множество D значений x, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
Пример. Исследовать сходимость ряда: 
=1+x+x2+...+xn+... .
Решение. Данный ряд при каждом x есть геометрическая прогрессия со знаменателем x. Его k-я частичная сумма по аналогии с ранее доказанным для числового ряда геометрической прогрессии Sk=
, но теперь знаменатель прогрессии есть переменная величина. Переходя в последнем равенстве к пределу при k, получим, что для | x | < 1 сумма ряда S(x) =
, следовательно, ряд сходится для x (–1,1) . На границах этого интервала (x =1) данный ряд расходится: 
= 111... (не выполняется необходимое условие сходимости). Следовательно, D=(–1,1).
Степенные ряды
Определение. Степенным рядом называется ряд вида:
,
где a0, a1 ,..., an,... – коэффициенты ряда, действительные числа; n =0, 1, 2, ... ; x R – действительная переменная; x0 R – некоторое действительное число.
Если перейти к новой переменной t=(x – x0), то степенной ряд примет вид: 
=
.
Определение. Число r называется радиусом сходимости степенного ряда, если при |x–x0| < r ряд сходится, а при |x–x0| > r – расходится. Интервал (–r, r) называется интервалом сходимости степенного ряда.
Множество всех значений x, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости.
В частных случаях радиус сходимости может быть равен нулю или бесконечности. Если r =0, то степенной ряд сходится лишь при х=х0, если же r =+, то ряд сходится на всей числовой оси.
Разложение функций в степенные ряды
Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в интервале |х–х0|< r, может быть разложена в этом интервале в ряд Тейлора, если остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при n для любого х из этого интервала.
Формула Тейлора 
.
Здесь 
– производная порядка k в точке х0, 
=
, по определению факториала(!): k!=1∙2∙3∙∙∙k; 0!=1; 1!=1; 
– остаточный член в форме Лагранжа, где с есть среднее значение между x и xо.
Если 
, то ряд Тейлора в окрестности точки х0 имеет вид:
,
здесь 
– коэффициенты ряда.
В частном случае при x0 =0 ряд называют рядом Маклорена.
Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию y = ex .
Решение.
; 
; 
;
; 
и т. д.
Окончательно:
.
Задание. Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4.
; 5. 
;
6. 
; 7. 
; 8. 
.
6. Ряды Фурье
При моделировании колебаний различной природы (поперечные колебания струны, продольные колебания стержня, электрические колебания в проводе и т. д.), процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде и других периодических процессов, рассматриваемых на конечном промежутке, используют периодические функции. Заметим, что всякую непериодическую функцию на конечном интервале можно периодически распространить на всю числовую ось, поэтому при решении указанных задач используют широкий класс функций. Если периодическая функция кусочно монотонна на [a, b], то она может быть представлена в виде функционального ряда, элементами которого являются простейшие тригонометрические функции.
Определение. Функция f(x) называется кусочно монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x1, x2, ..., xn-1 на интервалы (a, x1), (x1,x2),..., (xn-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна.
Определение. Функциональный ряд вида:
=
называется тригонометрическим рядом. Постоянные a0, an, bn (n=1, 2,...) называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если тригонометрический ряд сходится, то его сумма есть периодическая функция f(x) с периодом 2 ( sin nx и cos nx являются периодическими функциями с периодом 2).
Пусть тригонометрический ряд сходится на отрезке [–,], и f(x) – его сумма: f(x) =
.
Можно показать, что коэффициенты этого ряда определяются по формулам:
, 
, 
, в этом случае тригонометрический ряд называют рядом Фурье.
Заметим, что если в ряд Фурье разлагается нечетная функция f(x), то а0 = аn=0, и ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы, если же f(x) – четная функция, то bn =0, и ряд Фурье четной функции содержит только косинусы.
Сформулируем теорему, отвечающую на вопрос, при каких условиях функцию f(x) можно разложить в ряд Фурье.
Теорема. Если 2-периодическая функция – кусочно монотонная и ограниченая в промежутке [–,], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках промежутка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва f(x) сумма ряда определяется по формуле , где с – точка разрыва первого рода функции f(x).
Из этой теоремы следует, что класс функций, которые могут быть представлены рядами Фурье, довольно широк.
Пусть f(x) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличном от 2. Сделав замену переменной по формуле 
, получим функцию f(t) с периодом 2, и ее можно разложить в ряд Фурье. Переходя затем к старой переменной, получим ряд Фурье для 2l – периодической функции,
где 
,
.
Пример. Разложить в ряд Фурье f(x)=|x |, на отрезке [–l, l].
Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то
bn=0, 
.
Здесь 
.
Вычислив последний интеграл, получим:
Следовательно, разложение имеет вид:
.
