Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Математика, 11 класс

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ

В течение ряда лет в вариантах выпускных и вступительных работ по математике встречаются задачи, в решении которых применяется дифференциальное исчисление. Перечислим примерные типы таких задач. Это могут быть:

·  задачи, связанные с исследованием функции и построением ее графика (в том числе при нахождении площади плоской фигуры);

·  задачи на геометрический смысл первой производной (нахождение касательной к графику функции);

·  задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке (представляющие, как правило, наибольшую сложность, связанную с тем, что понятия наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке часто путают с понятиями минимума и максимума).

Напомним ряд определений и выясним отличия в используемых понятиях.

Определение 1. Говорят, что функция достигает на множестве X своего наименьшего (наибольшего) значения в точке , если для любого имеет место неравенство ().

Введем для наименьшего и наибольшего значений следующие обозначения:

().

Рассмотрим различные случаи:

1.  Пусть - отрезок. Имеет место теорема.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений.

Следствие. Если функция дифференцируема на интервале , то она достигает на отрезке наибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка. (Смотри рисунок 1.)

Для функции, график которой изображен на рисунке 1, имеются две точки максимума () и одна точка минимума (), но для нее , а .

2.  Пусть X – некоторый промежуток, на котором функция имеет единственную точку экстремума. Тогда имеет место теорема.

Теорема 2. Пусть - единственная точка экстремума функции на множестве X. Тогда, если - точка минимума, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения. Если же - точка максимума, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

Рассмотрим пример. На рисунке 2а - единственная точка минимума функции на промежутке . Поэтому .

На рисунке 2б - единственная точка максимума функции на промежутке . Поэтому .

3.  Пусть - периодическая непрерывная на интервале функция. Тогда имеет место теорема.

Теорема 3. Если - периодическая непрерывная на интервале функция, то она достигает своего наибольшего значения в бесконечном числе точек максимума и наименьшего значения в бесконечном числе точек минимума.

Например, на рисунке 3 , а , где Т- главный период функции, а .

Если же исследуемая функция не удовлетворяет условиям теорем 1-3, то будет полезно построить график этой функции и по графику выяснить, существуют ли точки с наибольшим и наименьшим значениями. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке Х.

Решение. Исследуемая функция дифференцируема и непрерывна на отрезке, поэтому можно применить теорему 1.

а) Найдем производную: .

б) Найдем стационарные точки (в них производная обращается в нуль).

.

Точки - точки возможного экстремума. При этом . Найдем значения функции в точке и на концах отрезка и выберем среди них наибольшее и наименьшее значения. Так как

, то

, .

Пример 2. Найти наибольшее значение функции .

Решение. Условия задачи подходят под условия теоремы 2.

а) Найдем производную функции: .

б) Найдем стационарные точки: . В точке - производная не существует, однако . Таким образом, на заданном множестве существует единственная точка, подозрительная на экстремум.

в) Составим таблицу.

x	(0,1)	1
f’(x)	+	0	-
f(x)	­	max	¯

Так как - единственная точка максимума, то .

Рассмотрим теперь примеры использования метода нахождения наибольших и наименьших значений при решении других задач.

Задача 1. Нахождение области значений функции

Напомним, что геометрически область значений функции представляет из себя промежуток (или несколько промежутков) на оси , являющийся проекцией графика этой функции на данную координатную ось. Например, на рисунках 4а) и 4б) указаны области значений функции .

Поэтому, если функция - непрерывна, то множество ее значений – это промежуток (открытый или замкнутый), левый конец которого равен наименьшему, а правый – наибольшему значениям функции в области ее определения.

Пример 3. Найти множество значений функции .

Решение. Так как знаменатель всегда положителен (объясните, почему?), то областью определения функции является вся числовая ось и функция на ней везде непрерывна. Исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значения.

а) Найдем производную: =

= = .

б) Найдем точки возможного экстремума: ;

в) Исследуем функцию на экстремум

x	(-;-1)	-1	(-1; 1)	1
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)	­	max	¯	min	­

; . При этом, так как степени числителя и знаменателя равны, то предел

г) Построим для наглядности график функции

Ответ: область значений функции

Пример 4. Найти множество значений функции

Решение. Эта функция является непрерывной и периодической на всей числовой прямой, поэтому из теоремы 3 следует, что множество ее значений есть

У= [,] или У = .

а) Найдем точки экстремума. Для этого найдем производную функции: = . Приравняем полученную производную к нулю: или или . То есть получим следующие точки возможного экстремума:

; ; ; .

б) Найдем значение функции в полученных точках и выберем из них самое большое и самое маленькое значение.

;;

;

.

Следовательно = ; = -3.

Ответ: .

Пример 5. (Выпускной экзамен по математике для классов с углубленным изучением математики) Найти множество значений функции .

Решение. Преобразуем функцию

,

. Данная функция непрерывна на всей числовой оси и периодична, поэтому множество ее значений является отрезком . Найдем производную . . Приравняв производную к нулю найдем точки возможного экстремума . Особенность данной задачи в том, что нам не нужно находить значения x, при которых производная равна нулю, достаточно только узнать значения функции в этих точках и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значение. Пользуясь известными тригонометрическими тождествами выразим через тангенс значения и в точках экстремума:

.

Подставив эти значения в (преобразованную) функцию получим и. Поэтому , и множество значений функции равно .

Задачи для самостоятельного решения

Необходимо решить предложенные ниже задачи, оформить их решения отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

М11.11.1. Исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения на данном промежутке.

а) , б) ,

в) , г) ,

д) , .

М11.11.2. Найти множество значений функции

а) б)

в) г)

М11.11.3. Найти точку графика функции , сумма расстояний, от которой до оси ординат и до прямой наименьшая (задача выпускного экзамена для классов с углубленным изучением математики)

М11.11.4. Из гранита нужно вырубить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого, должна быть равна диагонали основания, а площадь основания – 4 кв. м. При каких значениях сторон основания площадь поверхности постамента наименьшая.

М11.11.5. Определить значение параметра а так, чтобы сумма квадратов корней трехчлена была наименьшей.

М11.11.6. Найти все значения а из промежутка , при каждом из которых больший корень уравнения принимает наибольшее значение.