Математический

кружок

Русановского лицея

Домашняя работа №1

8 класс

Определение 1.

Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A принадлежит множеству B. Обозначение: .

Определение 2.

Множества A и B называются равными, если каждый элемент множества A принадлежит множеству B и наоборот, каждый элемент множества B является элементом множества A. Обозначение: A = B.

Иными словами, можно показать, что множества A и B будут равны, если они являются подмножествами друг друга.

Письменная часть

1.1.  Для каждых двух из следующих множеств укажите, является ли одно из них подмножеством другого:

, , , , , , .

1.2.  Докажите, что множество A тогда и только тогда является подмножеством множества B, когда каждый элемент, не принадлежащий B, не принадлежит A.

1.3.  Докажите, что для произвольных множеств A, B и C

а) ;

б) если и , то ;

в) , если и только если и .

Устная часть

1.4.  В комнате 12 гномов. Некоторые из них честные, то есть всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. «Здесь нет ни одного честного гнома», – заявил первый гном. «Здесь не более одного честного гнома», – сказал второй. Третий сказал, что честных не более двух, четвертый – что не более трех, и так далее до двенадцатого, который сказал, что честных гномов не более одиннадцати. Сколько честных гномов на самом деле?

Ã

1.5.  Мудрецу Сантьяго сообщили сумму трех натуральных чисел, а мудрецу Понтьяго – их произведение.

— Если бы я знал, – сказал Сантьяго, – что твое число больше, чем мое, я бы сразу назвал три искомых числа.

— Мое число меньше, чем твое, – ответил Понтьяго и назвал все три загаданных числа.

Какие числа назвал Понтьяго?

1.6.  Пол комнаты площадью 6 м2 покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна 3 м2. Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей 1 м2.

1.7.  Куб со стороной 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трех направлений). В некотором единичном кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три слоя 1×20×20, параллельных граням куба. Найдите сумму всех чисел вне этих слоев.